Quelques utilisations du condensateur, bac Mayotte 2022.

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A. La balance capacitive.

Lorsque la balance est à vide (sans masse sur le plateau), la distance entre les deux armatures est notée e0. Lorsqu’un objet de masse M est posé sur le plateau de pesée, les armatures du condensateur se rapprochent, modifiant alors la valeur de sa capacité C. Les deux armatures ne peuvent pas entrer en contact grâce à la présence de petites butées de taille négligeable devant e0. La mesure de la capacité C par un dispositif électronique permet alors de déterminer la masse M de l’objet.
Capacité d'un condensateur plan.

C = e0 er S /e.
 . C : capacité du condensateur en Farad (F) ;  S : superficie des armatures ;  e0 : permittivité diélectrique du vide = 8,85×10-12 F·m-1 ; er: permittivité diélectrique relative de l’isolant entre les armatures. Pour l’air : er = 1,0 ;
 e : distance entre les 2 armatures ;  e0 = 1 cm.
1. Domaine d’utilisation de la balance.
 1.1. Déterminer la valeur de la capacité C0 du condensateur lorsque la balance est à vide. Commenter.
S =4,0 10-2 x 3,0 10-2 =1,2 10-3 m2.
C0 =8,85 10-12 x 1,2 10-3 / 10-2~1,1 10-12 F, valeur assez faible.
 1.2. Préciser si la capacité du condensateur augmente ou diminue lorsque l’on place une masse sur le plateau. Justifier.
La distance des armatures diminue, S reste constante, donc la capacité augmente.
. 1.3. Lorsqu’un objet de masse M est posé sur le plateau, la distance entre le plateau et le support passe de D0 à D et le plateau exerce sur l’objet une action modélisée par une force F dirigée vers le haut. La valeur de cette force est donnée par la relation :
 F =k (D0- D) , avec k = 980 N·m-1 .
1.3.1. L’objet de masse M étant à l’équilibre sur le plateau, vérifier que, connaissant la distance D entre le plateau et le support, on peut déduire M par la relation : M = k(D0-D) / g où g est l’intensité de la pesanteur : g = 9,8 N·kg-1 .
Le poids compense  l'action exercée par le plateau.
Mg=k (D0- D) ; M = k(D0-D) / g

 1.3.2. En admettant que l’armature mobile du condensateur se déplace de la même distance que le plateau lorsqu’un objet de masse M est posé sur celui-ci, calculer la masse maximale que peut mesurer cette balance.
Distance minimale des armatures : D =e0-h = 10-0,5 = 9,5 mm = 9,5 10-3 m.
Mmaxi =980 x9,5 10-3 / 9,8 =0,95 kg.
2. Mesure de la masse à peser.
Pour déterminer la valeur de la capacité C du condensateur et en déduire la valeur de la masse immobile sur le plateau, on étudie la charge du condensateur à partir du circuit ci-dessous. À l’instant t = 0, le condensateur est déchargé ; on applique alors au circuit la tension E.

2.1. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur peut  s'écrire :
RC dUc/dt +Uc = E.
Additivité des tensions : E = Uc + UR.
UR = RI ; I = dQ /dt = CdUc/dt.
Par suite E = Uc +RCdUc /dt.
2.2. Déterminer l’expression de t en fonction de R et de C pour que la fonction Uc(t) = E(1-exp(-t / t)) soit solution de l’équation différentielle précédente.
On dérive : dUc /dt = E/ t exp(-t / t).
Repport dans l'équation différentielle :
E = E(1-exp(-t / t)) +E RC/ t exp(-t / t).
t = RC.
On enregistre les valeurs de la tension Uc aux bornes du condensateur au cours du temps pour deux masses M1 et M2 différentes. Les courbes sont fournies.
2.3. Pour quelle courbe, 1 ou 2, du graphique 1, la valeur de la capacité du condensateur est-elle la plus élevée ? Justifier.
La distance des armatures est la plus faible ( donc C et t les plus élevés ) pour la masse la plus grande ( courbe 2).

 2.4. En exploitant les graphiques 1 et 2, déterminer la valeur de la masse pesée M2. La méthode utilisée devra être précisée sur les graphiques fournis.
C =44 10-6 / 107=4,4 10-12 F.
1 /C ~2,3 1011 F-1.

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 Accélérateur linéaire de particules.
 On s’intéresse dans cette partie à un accélérateur linéaire de particules constitué de blocs métalliques cylindriques séparés par des cavités vides, et comprenant au voisinage de leur axe un passage tubulaire dans lequel les particules chargées peuvent se déplacer. Les particules, ici des protons, sont accélérées dans les cavités, où règne un champ électrique E . Dans les passages tubulaires, le champ électrique est nul. Toutes les cavités ont la même longueur d. Dans cet exercice, on étudie le mouvement d’un proton.

Les protons sont émis par une source avec une vitesse négligeable.
Données :  masse d’un proton : mp = 1,67×10-27 kg ;  charge électrique élémentaire : e = 1,60×10-19 C ;  expression de la norme du vecteur champ électrique : E = U /d , où U représente la tension entre deux blocs consécutifs et d la distance les séparant.
1. Modélisation par un condensateur plan.
 L’ensemble constitué par une cavité et deux blocs adjacents peut être modélisé par un condensateur plan relié à un générateur délivrant une tension continue UAB = 1 kV. On étudie l’accélération d’un proton à l’intérieur de la cavité. Un proton de charge q = e entre dans la cavité, en O, à la date t0 = 0,0 s avec une vitesse initiale nulle et atteint l’armature B au point S avec une vitesse v.

1.1. Préciser le signe des charges portées par les armatures A et B du condensateur si on souhaite que le proton soit accéléré entre ces deux armatures. Justifier la réponse.
Le proton porte une charge positive, il sera accéléré si B porte une charge négative.
1.2. Exprimer la norme Fe de la force électrique modélisant l’action exercée sur le proton entre les armatures du condensateur. Exprimer le résultat en fonction de UAB, q et d.
F = qE = e E = e UAB / d.
On montre que le travail de la force électrique Fe entre les points O et S est : W = q·UAB.
 1.3. Exploiter le théorème de l’énergie cinétique pour montrer que la vitesse du proton au point S est (2qUAB / m)½.
½mv2 - 0 = W = qUAB.
v2 =2qUAB / m.
v =(2qUAB / m)½.
 1.4. Calculer la valeur de v.
v = (2 x1,6 10-19 x1000 / (1,67 10-27) )½ =4,38 105 m /s.
2. Constitution de l’accélérateur linéaire de particules.
 Pour que l’accélération se poursuive dans les différentes cavités, la polarité de chaque tube est alternativement positive et négative : pour cela, le générateur délivre une tension ua(t) alternative de période T = 5,0×10-7 s.


On note d la distance entre deux blocs, LA la longueur bloc A, LB la longueur du bloc B, etc.
 2.1. Justifier la nécessité de changer le signe de la tension entre les blocs B et C lors du passage de la particule de la première cavité à la deuxième. Dans un bloc, le mouvement d’une particule est supposé rectiligne uniforme.
2.2. Justifier que le proton doit parcourir la longueur d’un bloc plus la longueur d’une cavité en 2,5×10-7 s.
Le champ électrique régnant dans les intervalles étant variable au cours du temps, la fréquence de la tension Ua(t) et la longueur des tubes sont choisies très précisément pour que les protons arrivent dans chaque intervalle à l'instant où le sens du champ électrique est tel qu'il permet leur accélération.
  A t = T /4, Ua(t) >0, alors VA > VB et le champ électrique pointe vers le plus petit potentiel, S1 dans l'intervalle 1 et vers O2 dans l'intervalle 2.

2.3. Même question à t = 3T /4.
A t = 3T /4, Ua(t) < 0, alors VA < VB et le champ électrique pointe vers le plus petit potentiel, O1 dans l'intervalle 1 et vers S2 dans l'intervalle 2.

A t = T /4, Ua(t) est positive et maximale alors, VA > VB et le champ électrique pointe vers le plus petit potentiel, S1 dans l'intervalle 1 et vers O2 dans l'intervalle 2.
A t = 3 T / 4, pour être accéléré de manière optimale, |Ua(t) |doit être maximale.
La durée du passage entre les tubes doit être égale à ½T.

2.3. Expliquer qualitativement pourquoi les blocs sont de plus en plus longs dans l’accélérateur linéaire.
La vitesse des protons augmente et la durée du passage entre les tubes est constante, égale à ½T.
Un vitesse est une longueur divisée par une durée.
La longueur des tubes doit donc croître.
 Dans les années 1970, l’accélérateur linéaire de protons de Los Alamos (USA), long de 800 m, permettait d’obtenir des protons d’énergie égale à 8,0 MeV à l’aide d’une tension ua(t) caractérisée par Ua max = 1 kV.
 2.4. Déterminer le nombre de cavités accélératrices nécessaires pour qu’un proton atteigne une énergie égale à 8,0 MeV. On considère que le gain en énergie cinétique est identique pour toutes les cavités.
Energie cinétique d'un proton à la sortie d'une cavité : ½m v2 = 0,5 x1,67 10-27 x(4,38 105 )2 =1,6 10-16 J ou 1,6 10-16 / (1,6 10-19) =1 keV = 10-3 MeV.
Il faut donc : 8,0 103 cavités.

  
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