Capacité
thermique massique du cuivre,
bac Centres étrangers 2022.
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La
capacité thermique massique peut être déterminée à partir des échanges
thermiques entre un échantillon de métal chauffé dans un étuve et
plongé ensuite dans un volume d'eau à température ambiante.
Temps de mise à température d'un échantillon de cuivre.
A la date t =0 on place un échantillon de cuivre, initialement à la température qa =20,5 °C dans une étuve à l'intérieur de laquelle l'air est à la température qth = 100 °C.
On veut estimer la durée nécessaire pour être sûr que la température du cuivre est bien 100 °C à 1°C près.
Le transfert thermique entre l'air intérieur de l'étuve et le cuivre
obéit à la loi de Newton qui exprime une relation de proportionnalité
entre le flux thermique F et l'écart de température (qth-q(t)).
F = hS(qth-q(t)).
Masse du cuivre m = 44,8 g.
Capacité thermique massique du cuivre, valeur tabulée, c = 385 J kg-1 K-1.
Surface d'échange S =22 cm2.
h = 10 W m-2 K-1.
. Q1. Prévoir le sens du transfert thermique.
Transfert du corps chaud, le thermostat vers le corps froid, le cuivre.
Q2.
Ecrire le premier principe pour le système et en déduire une relation
entre le transfert thermique Q, la masse du système m, la
capacité thermique massique du cuivre c et la variation de température
du système Dq.
DU = W + Q ( W = 0, pas de travail).
Q = m c Dq.
Q3.
Donner la relation entre le flux thermique et le transert thermique durant la durée courte Dt.
F = Q / Dt.
Q4. En déduire une relation entre h, S, q(t), m, c, Dq et Dt.
F = m c Dq / Dt.
F = hS(qth-q(t)).
hS(qth-q(t)) = m c Dq / Dt.
Dq / Dt + hS /(mc) q(t)) = hSqth / (mc).
Q5.Déduire de ce qui précède l'équation différentielle donnant l'évolution de la température en fonction du temps.
On pose t = mc / (hS).
dq(t) /dt +q(t) / t = qth / t.
La solution de cette équation est q(t) =A exp(-t / t) +B où A et B sont des constantes.
. Q6. Donner l'expression des constantes A et B.
Q7. Montrer que q(t) = 100 -79,5 exp( -t / 784).
A t = 0, q =qa =20,5 °C =A + B.
A t infini, le terme en exponentielle est nulle et B = qth = 100 °C.
Par suite A = qa -qth = -79,5 °C.
t = mc / (hS) =0,0448 x385 / ( 10 x 22 10-4)=784 s.
Q8. Déterminer la date t1 à partir de laquelle la température du système sera supérieure à 99°C.
100 -79,5 exp( -t1 / 784) > 99.
1 >79,5 exp( -t1 / 784)
1 / 79,5 >exp( -t1 / 784)
ln(1 / 79,5) > -t1 / 784.
ln(79,5 < t1 / 784.
t1 > ln(79,5) x 784 ;
t1 >3,43 103 s (57 min 10 s).
Principe de détermination de la capacité thermique massique.
On a placé une masse me d'eau dans un calorimètre. La température d'équilibre de l'eau est qe=20,5°C. On plonge l'échantillon de cuivre à la température qth dans l'eau du calorimètre. La température finale de l'ensemble est notée qf.
Hypothèse : les échanges thermiques se font uniquement entre l'eau et le cuivre.
Masse d'eau me = 100 g ; ceau = 4180 J Kg-1 K-1 ; qf = 23,1°C.
Q9 Montrer que c = me ceau(qf-qe) / (m(qth-qf)).
Chaleur gagnée par l'eau Q1 =me ceau(qf-qe).
Chaleur perdue par le cuivre : Q2 =m c(qf-qth).
Ensemble adiabatique : Q1+Q2 = 0.
me ceau(qf-qe) +m c(qf-qth)= 0
c = me ceau(qf-qe) / (m(qth-qf)).
Q10. Faire l'application numérique.
c = 0,100 x4180(23,1-20,5) / (0,0448 (100-23,1)) =315 J kg-1 K-1.
Ecart relatif ( 385 -315) / 385 x100 ~18 %.
Le calorimètre et ses accessoires participent aux échanges thermiques.
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