Mesure de la masse de Jupiter et du soleil,
bac Centres étrangers 2022.
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Galilée
a été le premier à observer les 4 principaux satellites de Jupiter (
Io, Europe, Ganymède et Callisto). Le graphique suivant donne les
variations de T2 (T : période de révolution en jours) en fonction de a3 ( a :demi-grand axe de la trajectoire elliptique en km).
. Q1. Préciser la relation qui existe entre T2 ar a3. Donner le nom de la loi correspondante.
Troisième loi de Kepler.
Modélisation du mouvement d'un satellite de Jupiter.
On étudie ce mouvement dans le référentiel joviocentrique ( centré sur
Jupiter) supposé galiléen. Le mouvement du satellite S est circulaire,
centré sur le centre J de Jupiter et on considère que la seule force
qui s'applique sur le satellite est la force de gravitation exercée par
Jupiter.
r : distance des centre des deux astres ; M mase de Jupiter ; m : masse du satellite.
.
Q2. Sur un schéma représenter le vecteur vitesse du satellite, la force de gravitation.
Q3. Donner l'expression de la force de gravitation.
Q4. Exprimer la vitessedu satellite en fonction de G, M et r.
Q5. En déduire que T2 / a3 est égal à 4p2 / (GM).
Le satellite décrit la circonférence 2 pr à la vitesse v durant la durée T.
2pa = v T.
4p2a2 = v2 T2.
v2 = GM / a.
4p2a2 = GM / a T2.
T2 / a3 = 4p2 / (GM).
. Q6. Calculer M. Commenter un éventuel écart à la valeur 1,898 6 1027 kg..
Aide : 1 j2 km-3 = 7,46 s2 m-3.
4,2 10-17 x7,46 = 4 x3,142 /(6,67 10-11 M) ;
3,16 10-16 =5,92 1011 / M.
M = 5,92 1011 / (3,16 10-16) =1,89 1027 kg..
La
relation établie à la question 5 est applicable à d'autres systèmes
constitués de satellites en orbite autour d'un astre central.
Q6. Déterminer la masse du soleil.
Distance Terre-Soleil a = 1,5 1011 m.
Période de révolution de la Terre autour du Soleil : 365,25 jours soit :
365,25 x24 x3600 =3,16 107 s.
T2 / a3 =(3,16 107)2 / (1,5 1011)3 = 2,95 10-19.
2,95 10-19 = 4 x3,142 /(6,67 10-11 M).= 2,92 1011 / M.
Masse du Soleil : M =2,92 1011 /( 2,95 10-19 ) =2,0 1030 kg
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