Mathématiques, géométrie, Bac centres étrangers 2022. Afrique du Sud, Bulgarie, Comores, Djibouti, Kenya, Liban, Lituanie, Madagascar, Mozambique et Ukraine En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... L’espace est muni d’un repère orthonormé .  On considère les points A(5 ; 0 ; −1), B(1 ; 4 ; −1), C(1; 0; 3), D(5; 4; 3) et E(10; 9; 8).  1. a. Soit R le milieu du segment [AB]. Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur AB. xR= (xA+xB) / 2 = (5+1) / 2=3. yR= (yA+yB) / 2 = (0+4) / 2=2. zR= (zA+zB) / 2 = (-1-1) / 2= -1.  b. Ce vecteur AB est normal au plan P1 et E appartient à ce plan. Donner l'équation cartésienne de ce plan. -4x +4y +d = 0. R(3 ; 2 ; -1) appartient à ce plan : -4*3+4*2+d= 0 ; d = 4. -4x +4y +4 = 0 ou encore x-y-1=0. c. Démontrer que le point E(10 ; 9 ; 8) appartient au plan P1 et que EA = EB. xE-yE-1 =10-9-1 =0 est bien vérifiée, donc E appartient au plan P1. EA= [(5-10)2+(0-9)2+(-1-8)2]½ =187½. EB= [(1-10)2+(4-9)2+(-1-8)2]½ =187½. 2. On considère le plan P2 d’équation cartésienne x − z −2 = 0.  a. Justifier que les plans P1 et P2 sont sécants. Coordonnées d'un vecteur normal à P1 : (1 ; -1 ; 0). Coordonnées d'un vecteur normal à P2 : (1 ;0 ; -1). Ces deux vecteurs n'étant pas colinéaires, les deux plans ne sont pas parallèles.  b. On note D la droite d’intersection de P1 et P2. Démontrer qu’une représentation paramétrique de cette droite  est :  x = 2+ t  ; y = 1+ t ; z = t (t ∈ R). Soit M(x, y z) un point de cette droite. Si M appartient au plan P1 : 2+t-1-t-1=0 est vérifiée quel que soit t. Si M appartient au plan P2 : 2+t-t-2=0 est vérifiée quel que soit t. Donc D est l’intersection de P1 et P2.  3. On considère le plan P3 d’équation cartésienne y + z −3 = 0. Justifier que la droite D est sécante au plan P3 en un point W dont on déterminera les coordonnées. Si la droite D est sécante au plan P3 , alors : 1+t+t-3 =0 ; t =1. Coordonnées de W : x = 2+t = 2+1 =3 ; y = 1+t = 1+1 = 2 ; z =t=1.  Si S et T sont deux points distincts de l’espace, on rappelle que l’ensemble des points M de l’espace tels que MS = MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST]. On admet que les plans P1, P2 et P3 sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD].  4. a. Justifier que WA = WB = WC = WD. WA =[22+(-2)2+(-2)2 ]½ =12½= 2*3½. WB =[(-2)2+(-2)2+(-2)2 ]½ =12½= 2*3½. WC =[(-2)2+(-2)2+22 ]½ =12½= 2*3½. WD =[22+22+22 ]½ =12½= 2*3½.  b. En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon W est équidistant de A, B, C et D ; c'est le centre de la sphère de rayon 2*3½. ... .... L’espace est muni d’un repère orthonormé .  On considère les points A(3 ; −2 ; 2), B(6 ; 1 ; 5), C(6 ; −2 ; −1) et D(0 ; 4 ; −1).  On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule : V = 1 /3 A ×h où A est l’aire de la base et h la hauteur correspondante. 1. Démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. 2. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle. AB2 =32 +32+32 = 27. AC2 =32 +02+(-3)2 = 18. BC2 =02 +(-3)2+(-6)2 = 45. BC2 =AB2 +AC2 ; le triangle ABC est rectangle en A. b. Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).   c. En déduire le volume du tétraèdre ABCD. Aire de la base = aire du triangle ABC = AB x AC / 2 = 27½ x18½ /2 =4,5 x 6½. Hauteur AD =[(-3)2 +62 +(-3)2]½ =54½ =3 x6½. Volume = 4,5 x 6½x 3 x6½ / 3 =27 unités de volume. 3. On considère le point H(5; 0; 1). a. Montrer qu’il existe des réels a et β tels que .  b. Démontrer que H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD).  c. En déduire la distance du point A au plan (BCD). AH = (22 +22 +(-1)2]½ =3.  4. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle BCD. Aire du triangle BCD x AH / 3 = volume du tétraèdre ABCD. Aire du triangle BCD = 3 x27 / 3=27 unités d'aire.

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