Mathématiques, probabilités, Bac centres étrangers 2022.
Afrique du Sud, Bulgarie, Comores, Djibouti, Kenya, Liban, Lituanie, Madagascar, Mozambique et Ukraine

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Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l’âge du skieur :
-un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de 25 ans ;
- un forfait SENIOR pour les autres.
 Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge l’option coupe-file qui permet d’écourter le temps d’attente aux remontées mécaniques. On admet que :
- 20 % des skieurs ont un forfait JUNIOR ; - 80 % des skieurs ont un forfait SENIOR ;
- parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6 % choisissent l’option coupe-file ;
 - parmi les skieurs ayant un forfait SENIOR, 12,5 % choisissent l’option coupe-file.
 On interroge un skieur au hasard et on considère les évènements :
 - J : « le skieur a un forfait JUNIOR »; - C : « le skieur choisit l’option coupe-file ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante
Partie A
1. Traduire la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité P(J ∩C).
0,06 x0,2 = 0,012.
3. Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l’option coupe-file est égale à 0,112.
P(J n C) + P(non J n C) = 0,012 + 0,1 = 0,112.
 4. Le skieur a choisi l’option coupe-file. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un skieur ayant un forfait SENIOR ? Arrondir le résultat à 10−3 .
PC(non J) =P(non J n C) / P(C) = 0,1 / 0,112=0,893.
 5. Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15 % des skieurs ayant choisi l’option coupe-file ? Expliquer.
1-0,893=0,107 soit 10,7 %. l'affirmation est fausse.

Partie B
On rappelle que la probabilité qu’un skieur choisisse l’option coupe-file est égale à 0,112. On considère un échantillon de 30 skieurs choisis au hasard. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l’échantillon ayant choisi t’option coupe-file.
1. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.
n =30 ; p =0,112.
2. Calculer la probabilité qu’au moins un des 30 skieurs ait choisi l’option coupe-file. Arrondir le résultat à 10−3 .
P(X > 1) = 1 -P(X=0)=1-(300) x 0,1120 x(1-0,112)30 =0,972.
 3. Calculer la probabilité qu’au plus un des 30 skieurs ait choisi l’option coupe-file. Arrondir le résultat à 10−3 .
P(X=0)+P(X=1)=(300) x 0,1120 x(1-0,112)30 +(301) x 0,1121 x(1-0,112)29 =0,136.
 4. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
 E(X) = n p = 30 x0,112 =3,36.

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Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.
 Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne. On établit la règle de jeu suivante :
 - un joueur perd 9 euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche ;
- un joueur perd 1 euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire ;
 - un joueur gagne 5 euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.
 1. On considère que l’urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs.
 a. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
On note B l'événement " le joueur tire un blanc".
N l'événement " le joueur tire un noir".

 b. Calculer la probabilité de perdre 9 € sur une partie.
2 jetons blancs sont tirés ; probabilité 0,36.
 2. On considère maintenant que l’urne contient 3 jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera N le nombre de jetons noirs.
a. Soit X la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie. Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
Gain
-9
-1
5
Probabilité
(3 / (3+N)2
(N / (3+N)2
6N /(3+N)2.

 b. Résoudre l’inéquation pour x réel : −x 2 +30x −81 > 0.
Discriminant D =302-4*81=576=242.
x1 = (-30 +24) /(-2) =3 ; x2 = (-30 -24) /(-2) =27.
−x 2 +30x −81 > 0 si x appartient à ]3 ; 27[.
c. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l’urne doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.
Espérence de X : E =( -9 *9-N2 +5(6N)2) / (3+N)2= (-N 2 +30N −81) / (3+N)2.
Le jeu est favorable si l'espérance  est positive, soit N appartenant à ]3 ; 27[ .
Donc entre 4 et 26 jetons noirs.
d. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d’obtenir un gain moyen maximal ?
f (N) =(-N 2 +30N −81) / (3+N)2.
On dérive en posant u = -N 2 +30N −81 et v= (3+N)2.
u' = -2N+30 ; v' = 2(3+N)
(u'v-v'u) / v2 =[(-2N+30)(3+N)2 -2(3+N)(-N2+30N-81)] / (3+N)4.
Numérateur : (3+N) [-6N-2N2+90+30N+2N2-60N+162] =(3+N)(-36 N+252).
f '(N) s'annule pour -66N = 252 soit N =7.
Le gain moyen est maximum pour N=7 jetons noirs.
 3. On observe 10 joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que 7 jetons noirs ont été placés dans l’urne (avec 3 jetons blancs). Quelle est la probabilité d’avoir au moins 1 joueur gagnant 5 euros ?
Probabilité de gagner 5 € : (6 *7) / 102 =0,42.
On note X le nombre de personnes gagnat 5 €. X suit une loi binomiale de paramètre n = 10 et p = 0,42.
P(X >1) = 1-P(X=0)=1-(100) x 0,420 x(1-0,42)10=0,996.


  
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