Mathématiques, géométrie, probabilités, Bac centres étrangers 2022.
Arabie saoudite, Bahreïn, Chypre, Éthiopie, Grèce, Israël, Jordanie, Koweït, Qatar, Roumanie et Turquie

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.

.
. . .

.
.
.. ..
......


...
Dans l’espace, rapporté à un repère orthonormé, on considère les points :
A(2 ; 0 ; 3), B(0 ; 2 ; 1),C(−1 ; −1 ; 2) et D(3 ; −3 ; −1).
1. Calcul d’un angle
a. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants et en déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
 b. Calculer les longueurs AB et AC.
AB = [(-2)2 +22+(-2)2]½ =12½ = 2 *3½.
AC = [(-3)2 +(-1)2+(-1)2]½ =11½.
 c. À l’aide du produit scalaire suivant, déterminer la valeur du cosinus de l’angle BAC puis � donner une valeur approchée de la mesure de l’angle BAC au dixième de degré.


 � 2. Calcul d’une aire
a. Déterminer une équation du plan P passant par le point C et perpendiculaire à la droite (AB).
Equation du plan : -2x+2y-2z +d = 0
C(-1 ; -1 ; 2) appartient à ce plan : 2-2-4+d=0 ; d = 4.
-2x+2y-2z +4 = 0 ou -x+y-z+2=0.
 b. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).
x = -2t +xA = -2t+2
y=2t+yA=2t.
z=-2t+zA =-2t+3 avec t réel.
 c. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal E du point C sur la droite (AB), c’est-àdire du point d’intersection de la droite (AB) et du plan P.
-xE+yE-zE+2 =0.
xE = -2t +2.
yE =2t.
zE = -2t+3.
2t-2 +2t+2+2t-3 =0 ; 6t -3=0 ; t =0,5.
xE =1 ; yE =1 ; zE = 2.
d. Calculer l’aire du triangle ABC.
CE x AB / 2.
CE =(22+22+02)½ =8½ = 2 *2½.
AB = 2 *3½.
Aire : 2*6½.
 3. Calcul d’un volume
a. Soit le point F(1 ; −1 ; 3). Montrer que les points A, B, C et F sont coplanaires.

b. Vérifier que la droite (FD) est orthogonale au plan (ABC).
Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite (FD) :( 2 ; -2 ; -4)

c. Sachant que le volume d’un tétraèdre est égal au tiers de l’aire de sa base multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre ABCD.
Hauteur FD =(22 +(-2)2 +(-4)2)½ =24½=2*6½.
Base ABC : 2*6½.
V =24 /3 =8 untés de volume.

...
....

 Probabilités.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
 Au cours de la fabrication d’une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés T1 et T2.
 Partie A
On prélève au hasard une paire de verres dans la production.
 On désigne par A l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 ».
 On désigne par B l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 ».
Une étude a montré que :
- la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 notée P(A) est égale à 0,1.
- la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 notée P(B) est égale à 0,2.
- la probabilité qu’une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est 0,75.
1. Recopier et compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes.

 A
 non A
Total
B
 0,05
 0,15
 0,2
non B
 0,05
 0,75
 0,8
Total
 0,1
 0,9
 1
2. a. Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2.
C'est l"événement contraire de " aucun défaut " soit 1-0,75 = 0,25.
b. Donner la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2.
P(A n B) = 0,05.
 c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
P(A) x P(B) = 0,1 x 0,2 = 0,02 et P(A n B) =0,05.
Les événements ne sont pas indépendants.
 3. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.
P(A n non B) + P(B n non A) = 0,05 +0,15 = 0,2.
 4. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1.
PA(B) =P(A n B) / P(A) =0,05 / 0,1 = 0,5.

 Partie B.
 On prélève, au hasard, un échantillon de 50 paires de verres dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
Les tirages sont indépendants ; chaque tirage est une épreuve de Bernoulli.
X suit la loi binomiale de paramètre n = 50 et p = 0,1.
2. Donner l’expression permettant de calculer la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, exactement 10 paires de verres qui présentent ce défaut. Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à 10−3 .
P(X = 10) = (5010) x0,110 x 0,940 ~0,015.
3. En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de 50 paires ?
Espérance de X = np = 50 x0,1 = 5.

  
menu