E3C première, mesure du méridien terrestre.

Eratosthène est célèbre pour avoir établi la première méthode connue de mesure de la circonférence de la Terre.
Données :
• Le 21 juin, à midi, à Syène (Assouan), on voit le fond des puits.
• Le 21 juin, à midi, à Alexandrie, on mesure la longueur de l’ombre d’un gnomon* de 1 mètre. Celle-ci vaut 0,126 mètre.
(*un gnomon est un instrument astronomique qui visualise par son ombre les déplacements du Soleil. Sa forme la plus simple est un bâton planté verticalement dans le sol.)
• La distance entre Alexandrie et Syène est estimée à 5000 stades.
• Un stade est une unité de longueur correspondant à la longueur du stade d'Olympie, soit environ 157,5 mètres.
• Alexandrie et Syène sont supposées être sur un même méridien.
Le soleil étant lointain, on suppose que les rayons qu’il émet sont parallèles.
1- Proposer un schéma représentant le gnomon, son ombre et les rayons du soleil avec les longueurs données (il n’est pas demandé que le schéma soit à l’échelle).

2- Calculer la tangente de l’angle a formé par le gnomon et le rayon de soleil, et démontrer que cet angle mesure environ 7,2 °.
tan a = AD / AE = 0,126 / 1 = 0,126 ; a =7,18 ° ~7,2 °.
3- À l’aide d’un scaphé (instrument de mesure ancien, sorte de cadran solaire), Ératosthène a trouvé que l’angle a correspondait à un cinquantième de tour. Comparer avec le résultat de la question précédente.
360 / 50 =7,2 °.
Ecart relatif ( 7,2 -7,18) / 7,2 =0,028 ( ~0,28 % ).
Ces deux résultats sont identiques.
4- Préciser la distance qui mesure 5000 stades sur la représentation de la Terre.
La distance AS mesure 5000 stades.
5- Justifier que les angles a et b ont la même mesure. En déduire la circonférence de la Terre d’abord en stade, puis en kilomètre.
Les rayons solaires sont parallèles et OE est une droite sécante. Les angles alternes internes a et b ont même mesure.
5000 x 3360 /7,2 = 5000 x 50 = 250 000 stades.
250 000 x 0,1575 =39 375 km.
6- Grâce à des mesures par satellites, on estime aujourd’hui la circonférence de la Terre à 40 075 km. Proposer au moins une source d’erreur possible pour la valeur estimée par Eratosthène.
(40 075 -39575) / 40075 =0,0175 ( 1,75 %).
5000 x 0,0175=87 stades.
La distance entre Alexandrie et Syène est estimée à 5000 stades. Cette distance n'est pas connue avec une grande précision, mais à quelques centaines de stades près.