E3C première, terre plate ou terre sphérique.

Anaxagore (v. -500 ; -428) et Ératosthène (v. -276; v. -194) sont deux mathématiciens qui se sont intéressés à la forme de la Terre : Anaxagore pensait qu’elle était plate alors qu’Ératosthène pensait qu’elle était sphérique.
Anaxagore a appris par des voyageurs venant de la ville de Syène (S) que, lors du solstice d’été, le Soleil (H) est au zénith à midi et donc que les objets n’ont pas d’ombre à ce moment précis. Au même moment, quelques 800 km plus au nord, à l’emplacement de
ce qui deviendra la ville d’Alexandrie (A), le soleil éclaire un puits de 2 m de diamètre jusqu’à une profondeur de 16 m.
1- Compléter le schéma avec les informations chiffrées précédentes.
Quelle longueur de ce schéma Anaxagore cherche-t-il à calculer ?

Il cherche à calculer la distance terre-soleil, HS.
2- Calculer la distance Terre-Soleil dans le modèle d’Anaxagore.
800 000 / 2 = HS / 16 ; HS = 400 000 x 16 = 6,4 10⁶ m = 6400 km.
3- On estime aujourd’hui que la distance moyenne Terre-Soleil est de 150 millions de kilomètres soit 25000 fois plus. Expliquer pourquoi la valeur trouvée par Anaxagore est très éloignée de la valeur réelle.
La terre n'est pas plate mais ronde et AS n'est pas un segment, mais un arc de cercle dont le centre est le centre de la terre.
De plus, le soleil étant très éloigné de la terre, les rayons solaires arrivant sur terresont parallèles.

Ératosthène connaît lui aussi la distance de 800 km entre Syène (S) et Alexandrie (A) et sait qu’à midi, lors du solstice d’été, le soleil est au zénith à Syène. Il fait une hypothèse importante pour son modèle : il pense que le soleil est très éloigné de la Terre et que, par conséquent, ses rayons sont parallèles en arrivant sur la Terre.
Il utilise un instrument de mesure qui lui permet de trouver un angle d’un cinquantième de tour, soit 7,2°, entre les rayons du soleil et la
verticale à Alexandrie.
La figure suivante représente la situation à midi lors du solstice d’été. Le segment [EA] représente la verticale à Alexandrie et C le centre de la Terre.
4- Compléter le schéma avec les informations chiffrées du texte.
Quelle longueur de ce schéma Ératosthène cherche-t-il à calculer ?

Il cherche à calculer le rayon terrestre CS.
5- Déterminer la mesure de l’angle ACS. Justifier la réponse en s’appuyant sur des propriétés géométriques.
Calculer la circonférence de la Terre puis en déduire le rayon de la Terre aukilomètre près.
Les droites dessinées en jaune sont parallèles et EC est une sécante. Les angles alternes internes ont même mesure 7,2°.
800 x 360 / 7,2 ~4,0 10⁴ km.
R = 4,0 10⁴ / (2 x3,14) ~6366 km.
6- On estime aujourd’hui que le rayon de la Terre est de 6371 km. Calculer l’erreur en pourcentage commise par Ératosthène. Commenter.
(6371-6366) / 6371 ~8,10^-4 ( 0,08 %).
La mesure du rayon terrestre faite par Eratosthène est très précise pour son époque.