Des instruments, des notes et des gammes, enseignement scientifique, classe de première générale.

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Partie 1 : des instruments et des notes.
Les cordes d’un piano vibrent lorsqu’elles sont frappées par de petits marteaux actionnés par les touches du clavier. Les sons produits par le piano résultent de ces vibrations.
1- Calculer la fréquence associée au La4 située une octave au-dessus du La3.
La fréquence du La3 est f = 441 Hz.
La fréquence du La4 est : 2f = 2 x441 = 882 Hz.
2- On s’intéresse aux sons produits par ce piano. Un système d'acquisition informatisé permet l'enregistrement et la visualisation des signaux associés à ces sons.
Une graduation horizontale correspond à 1 ms.

2-a- Justifier que les figures 1 et 2 correspondent à deux notes différentes.
2-b- Identifier les notes correspondantes aux figures 1 et 2.
Figure 1 : T = 11,5 / 3 10-3 ~3,83 10-3 s ; f = 1 /(3,83 10-3) = 261 Hz ( Do3 : 262 Hz )
Figure 2 : T ' = 12,5 / 5 10-3 ~2,5 10-3 s ; f' = 1 /(2,5 10-3) = 400 Hz ( sol3 : 393 Hz )

Partie 2 : des notes et des gammes.
La théorie musicale étant fondée sur des rapports de fréquences, on décide de simplifier les calculs en attribuant la valeur 1 (sans unité) à une fréquence choisie comme référence. Celle-ci correspond à une note de référence (par exemple 262 Hz pour le Do 3). On retrouve ensuite les fréquences réelles en multipliant les valeurs calculées par la fréquence de la note de référence.
La construction des gammes dites de Pythagore est basée sur le cycle des quintes : on part de la fréquence de valeur f0 = 1. On construit une nouvelle fréquence, la quinte, en multipliant f0 par 1,5. On réitère ce processus pour obtenir la quinte de la quinte, et ainsi de suite. À certaines étapes, le fait de multiplier par 1,5  une fréquence f comprise entre 1 et 2 peut donner une fréquence supérieure ou égale à 2. On se propose de démontrer que, si on divise par 2 la valeur obtenue, on la ramène dans l’octave.
3- On suppose que 1 ≤ f < 2 et on raisonne par disjonction de cas :
- premier cas : 1 ≤ f < 4 / 3. Montrer que 1 ≤ 1,5 f  < 2.
On multiplie chaque terme par 1,5 : 1,5
≤ 1,,5 f  < 2.
1 <1,5 ≤ 1,,5 f  < 2.
- deuxième cas : 4 / 3 ≤ f < 2. Montrer que 2 ≤ 1,5 f  et 1 < 3 /4 f < 2.
On multiplie les deux premiers termes par 1,5 : 2 
≤ 1,5 f ;
On multiplie chaque terme par 3 / 4 : 1 < 3 / 4 f < 1,5 ;
1 < 3 / 4 f < 1,5 < 2.
4- L’algorithme suivant permet de calculer les fréquences des notes successivement obtenues par ce processus jusqu’à ce qu’on retombe sur la fréquence initiale.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous en donnant les valeurs des 12 premières quintes obtenues par cet algorithme. Les résultats seront donnés d’abord sous forme exacte comme quotients d’une puissance de 2 par une puissance de 3, puis par leurs valeurs décimales approchées au centième obtenues à l’aide de la calculatrice.
n
0
1
2
3
4
5
6
f
(fraction irréductible)
1
3 / 2
32 / 23
33 / 24 34 / 26 35 / 27 36 / 29
f ( valeur approchée )
1
1,5
2,25 / 2 =1,13
1,69
2,53 / 2 =1,27
1,9
1,42
f > 2
faux
faux
vrai
faux
vrai
faux
faux
n
7
8
9
10
11
12

f
(fraction irréductible)
37 / 211 38 / 212 39 / 214 310 / 215 311 / 217 312 / 219
f (valeur approchée)
2,14 / 2 = 1,07
1,60
2,40 / 2 = 1,20
1,80
1,35
2,025 / 2 = 1,01
> 2
faux
faux
vrai
faux
faux
vrai

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5- L’algorithme termine-t-il pour une valeur de n inférieure ou égale à 12 ?
La fréquence n'étant jamais égale à 1, l'algorithme ne se termine pas pour n < 12.
6- Chacune des fréquences calculées est obtenue à partir de 1 par multiplications successives par 3 /2 et parfois par 1 / 2 .
Elles peuvent donc toutes s’écrire sous la forme 3m / 2n où m et n  sont des entiers naturels non nuls.
6-a- Démontrer que l’égalité
3m / 2n  = 1 est impossible.
3m = 2n  est impossible car 22 est pair et 3m est impair.
6-b- Que peut-on en déduire pour l’algorithme proposé ci-dessus ?
La condition d'arrêt f= 1 n'est jamais atteinte. L'algorithme ne s'arrête pas.
7- D’après ce qui précède, le cycle des quintes ne « reboucle » jamais exactement sur la note de départ. En s’appuyant sur le tableau , justifier le choix de 12 notes dans une gamme construite selon ce principe.
Au bout de 12 notes, la 13ème note possède à peu près la fréquence initiale. On peu donc construire une suite finie de notes.

8- Si on choisit comme fréquence de référence celle du Do3, les fréquences réelles des autres notes sont obtenues en multipliant par 262 les fréquences calculées dans le tableau de la question 4. En les rangeant dans l’ordre croissant et en arrondissant à l’unité, on obtient les fréquences des notes de la gamme de Pythagore à 12 notes :
8-a- Comparer ces fréquences à celles inscrites sur les touches du piano.

Do
Do#

Ré#
Mi
Fa
Fa#
Sol
Sol#
La
La#
Si
262
280
295
315
332
354
373
393
420
442
472
497
Il ne s'agit pas de la même gamme, les fréquences diffèrent.
8-b- Calculer au centième près les rapports entre la fréquence du Do# et celle du Do puis entre la fréquence du Ré et celle du Do# dans cette gamme. Que constate-t-on ?
280 / 262 =1,07 ; 295 / 280 =1,05.
Ces deux rapports sont différents.
9-a- Calculer au centième près les rapports entre la fréquence du Do# et celle du Do, puis entre la fréquence du Ré et celle du Do# dans la gamme figurant sur le piano.
Que constate-t-on ?
278 / 262 =1,06 ; 294 / 278 ~1,06.
Ces rapports sont égaux.
9-b- Comment nomme-t-on la gamme figurant sur le piano ? En quoi diffère-t-elle de la gamme de Pythagore à 12 notes ?
La gamme figurant sur le piano est la gamme à tempérament égal.
Les demi-tons de la gamme figurant sur le piano sont égaux.
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