Suites arithmétique et géométrique, mathématiques, classe de première technologique.

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Suite arithmétique.
1. En 2010, le village A compte 200 habitants et gagne à partir de cette date 10 habitants par an. Le village B compte 400 habitants en 2010 et perd 20 habitants par an. A partir de quelle date A sera t-il plus peuplé que B ?
Nombre d'habitants du village A  : en 2011 : 200 +10 = 210 ;
en 2012 : 210 +10 = 220 = 200 +2 x10.
en 2013 : 220 +10 = 230 = 200 +3 x10.
en 2010 + n : 200 +10 n.
Nombre d'habitants du village B  : en 2011 : 400 -20 = 380 ;
en 2012 : 380 -20 = 360 = 400 -2 x20.
en 2013 : 360 -20 = 340 = 400 -3 x20.
en 2010 + n : 400 -20 n.
A sera  plus peuplé que B à partir de :
200 +10 n > 400 -20 n.
10n +20 n > 400-200 ;
30 n > 200 ; n > 200 / 30 ; n > 20 / 3 ; (20 /3~7 soit en 2017 ).
Solution utilisant un graphique.


2. La suite (un) définie par : un = 7 − 9n est-elle arithmétique ? Si la réponse est oui, préciser la raison.
un+1 = 7 -9(n+1) = 7 -9n-9 = -2-9n.
un+1 -un = -2-9n -(7-9n) = -2-9n-7 +9n = -9.
un+1 -un est égale à un nombre constant, donc la suite est arithmétique.
un+1 =un -9. La raison est égale à r = -9.

3. Considérons la suite arithmétique (un) tel que u5 = 7 et u9 = 19 .
a) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un).
u1 = u0 +r ;
u2 = u1 +r =u0 +2r ;
 u5 = u0 + 5r =7 ;
u9 = u0 + 9r =19 ;
u9 - u5 = u0 + 9r -(u0 + 5r) =9 r-5 r = 4 r ;
19-5 = 4 r ; 14 =4 r ; r = 14 / 4 ; r = 3,5.
7 = u0 +5 r = u0 +5 x3,5  ; 7 =
u0 +17,5 ; u0 = 5 -17,5 ; u0 = -12,5.
b) Exprimer un en fonction de n.
un = u0 + 3,5 n.

4.
On considère la suite arithmétique (un) de premier terme u0 = 3 et de raison 2,4.
4.a. Alors u20 est égal à :   62,4 ;  108 ;  48 ;  51.
u20 =u0 +20 x2,4 =3+ 48 =51.
4.b. On utilise une feuille de calcul pour déterminer les termes de la suite (un).

A
B
C
D
E
F
G
H
I
1
n
0
1
2
3
4
5
6
7
2
un
3
5,4






3
Sn
3
8,4






Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule C2 qui, recopiée vers la droite, permet de calculer les termes successifs de la suite (un) ?
  =$B$2+2,4 ;  =B2+2,4 vrai ;  =$B2+2,4 ;  =B2*2,4.
4.c. On souhaite calculer la somme S7 = u0+u1+· · ·+u7 des 8 premiers termes de!a suite (un). Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule C3 qui, recopiée vers la droite, permet de calculer S7 ?
  =B3+C3 ;  =Somme(B2 :C2) ;  =C2+$B3 vrai ;  =B2+C2.


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Suite géométrique.
1. Considérons la suite géométrique (un) tel que u4 = 8 et u7 = 512 . Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un).
u1 = q u0 ; u2 = q u1=  q q u0 = q2 u0 ;
u4 = q4u0 ;  u7 = q7u0 ;
u7 / u4 = q7 / q4 = q3 ; 512 / 8 = q3 ; 64 = q3 ; q = 4.
u0 = u4 / q4=8 / 44 =8 /256 =1 / 32.

2. On considère la suite géométrique (vn) de raison 2 telle que v5 = 96. Alors v0 est égal à :
v5 = v0 x25 ; v0 = v5 /25=96 / 32 =3.

3. La municipalité met en place une campagne de communication et prévoit que le nombre de visiteurs du parc augmentera de 5% chaque mois à partir de mai 2017.
On modélise le nombre mensuel de visiteurs du parc à l’aide d’une suite (un). Ainsi u0 représente le nombre de visiteurs en mai 2017 (u0= 1520), u1 représente le
nombre de visiteurs en juin 2017, etc.
Afin d’étudier l’évolution de la fréquentation du parc, la municipalité utilise la feuille decalcul automatisé suivante :

1. Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 de sorte que, recopiée vers la droite sur la plage C2:H2, elle permette d’afficher les estimations du nombre de visiteurs par mois ?
=B2*1,05
2. Utilisation de la suite (un).
a. Déterminer une estimation du nombre de visiteurs en juin 2017.
b. Indiquer, sans justification, la nature de la suite (un). Donner la valeur de sa raison.
Suite géométrique de premier terme u
0 = 1520 et de raison 1,05.
c. Exprimer un en fonction de n
, pour tout entier naturel 􀝊
un = u0 x1,05n = 1520 x1,05n.
d. Déterminer une estimation du nombre de visiteurs dans ce parc en octobre 2017.
 n = 5 ; u5 = 1520 x1,055 =1940.

L’énergie photovoltaïque voit son coût baisser de façon importante depuis plusieurs années, ce qui engendre une croissance forte de ce secteur. L’évolution de la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde entre fin 2004 et fin 2015 est résumée dans le graphique ci-dessous :
Pn+1 e
1. Calculer les pourcentages d’augmentation annuels entre 2013 et 2014 ainsi qu’entre 2014 et 2015 (arrondir à 10−1).
(180-139) / 139 * 100 = 29,5 % ;
(233-180) / 180 * 100 = 29,4 % .
2. On se propose d’estimer la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dans les 15 ans à venir, si le taux de croissance annuel reste constant et égal à 30%.
On note Pn la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde, en GW, à la fin de l’année 2015+n. On a ainsi P0 = 233.
a. Calculer P1 puis P2( arrondir à 10−1).
P1 = P0(1+0,30) = 1,3 P0 = 1,3 *233 =302,9 GW.
P2 = 1,3 P1 = 1,32P0 =1,32 *233 =393,8 GW.
b. Exprimer Pn+1 en fonction de Pn.
Pn+1 = 1,3 Pn.
 En déduire la nature de la suite (Pn) et donner ses éléments caractéristiques.
Suite géométrique de raison 1,3 et de premier terme 233.
d. Exprimer Pn en fonction de n.
Pn = 233 x 1,3n.
e. Calculer la puissance solaire photovoltaïque, en GW, installée dans le monde fin 2025 (arrondir à l’unité).
 n=10 ; P10 = 233 x 1,310 = 3212 GW.
f. Quel est le pourcentage global d’augmentation de cette puissance solaire mondiale entre 2015 et 2025 (arrondir à l’unité) ?
(3212-233) / 233 =12,7854 ( ~1279 %)
3. On veut déterminer l’année durant laquelle la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde atteindrait 16 000 GW. Pour atteindre cette puissance, les panneaux photovoltaïques occuperaient au sol l’équivalent d’un carré de 400 km de côté et suffiraient pour produire toute l’électricité consommée dans le monde (consommation domestique, industrielle et des transports.

  a. On considère l’algorithme ci-dessous.
Recopier et compléter les lignes 3 et 7 afin que cet algorithme réponde à la question posée.
1/ Affecter à N la valeur 0
2/ Affecter à P la valeur 233
3/ Tant que P<16000
4/ Affecter à N la valeur N +1
5/ Affecter à P la valeur P ×1,30
6/ Fin Tant que
7/ Afficher N +2015.
N
15
16
17
P
233 x1,315=11926
233 x1,316=15504
233 x1,317=20155
P <16000
Faux
Faux
Vrai
b. En faisant tourner cet algorithme complété, déterminer l’année durant laquelle la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dépasserait 16 000 GW.

Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient 280 litres d’eau et des poissons. Par évaporation, le volume d’eau dans l’aquarium diminue de 2% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum 240 litres d’eau.
Partie A.
1. Quel volume d’eau restera-t-il dans l’aquarium au bout d’une semaine ?
280 x 0,98 = 274,4 L.
2. Est-il vrai qu’au bout de deux semaines, exactement 4% du volume d’eau initial se seront évaporés ? Justifier.
Au bout de deux semaines, il reste : 274,4x 0,98 = 268,912 L.
280 x0,96 = 268,8 L diffère de 268,912 L ; l'affirmation est fausse.
3. Vérifier qu'au bout de 8 semaines le volume d’eau dans l’aquarium deviendra insuffisant.
280 x0,98n ~238, valeur inférieure à 240.

Au bout de 8 semaines, le volume d'eau est insuffisant..

Partie B.
On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, 5 litres d’eau pour compenser l’évaporation hebdomadaire de 2%.
On note u0 le volume initial d’eau en litres dans l’aquarium. Ainsi u0 = 280.
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on note un le volume d’eau dans l’aquarium, en litres, n semaines après son installation, immédiatement après l’ajout hebdomadaire des 5 litres d’eau.
1. Vérifier que u2 = 278,812.
u1 = 280 x0,98 +5 =279,4 L.
u2 = 279,4 x0,98 +5 =278,812 L.
2. Justifier que pour tout entier naturel n, un+1 = 0,98un +5.
Chaque semaine on ajoute 5 L d'eau et il s'évapore 2 % du volume d'eau initial.
un+1 = 0,98un +5.
3. Montrer que la suite (un) n’est pas géométrique.
un+1 / un =0,98 + 5 / un.
un+1 / un  n'est pas constant : la suite n'est pas géométrique.
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