Mathématiques, suite, probabilités, fonction, géométrie enseignement de spécialité première générale.

Exercice 1. ( 5 points ).
Une ancienne légende raconte que le jeu d'échecs a été inventé par un vieux sage. Son roi voulut le remercier en lui accordant n'importe quel cadeau en récompense. Le vieux sage demanda qu'on lui fournisse un peu de riz pour ses vieux jours, et plus précisément qu’on place :
un grain de riz sur la première case du jeu qu'il venait d'inventer, puis deux grains de riz sur la case suivante, puis quatre grains de riz sur la troisième case, et ainsi de suite, en doublant le nombre de grain de riz entre une case et la suivante, et ce jusqu'à la 64e case (puisqu’un plateau de jeu d’échecs comporte 64 cases).
On note u₁ le nombre de grains de riz présents sur la première case, u₂ le nombre de grains sur la deuxième case, et ainsi de suite jusqu’à la 64e case.
1. Déterminer u₁, u₂, u₃, u₄ et u₅.
u₁ = 1 ; u₂ = 2 ; u₃ = 2² =4 ; u₄ = 2³ = 8 ; u₅ = 2⁴ =16.
2. Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, u_n+1 en fonction de u_n.
u_n+1 =2 u_n.
3. En déduire la nature de la suite (u_n) et en préciser les éléments caractéristiques.
Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, u_n en fonction de n.
Suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
u_n = 2^n-1.
4. Calculer le nombre de grains de riz qui doivent être disposés sur le plateau pour satisfaire à la demande du vieux sage.
Somme des 64 termes de la suite géométrique.
S = 2⁶⁴-1 / (2-1)~1,85 10¹⁹.
5. On veut écrire une fonction en langage Python qui détermine à partir de quelle case, le vieux sage disposera
d’au moins R grains de riz. Une ébauche de cette fonction est donnée.
Recopier et compléter cette fonction afin qu’elle renvoie le résultat désiré.
def nb_case(R)
case =1
u=1
somme u
while somme < R
u = 2 xu
somme = somme +u
case = case +1
return case.

Exercice 2. 5 points.
Une urne contient six jetons rouges dont un est marqué « gagnant » et quatre jetons verts dont trois d’entre eux sont marqués « gagnant ».
On tire au hasard un jeton de l’urne et on note les événements :
R : « le jeton tiré est rouge »,
V : « le jeton tiré est vert »,
G : « le jeton tiré est gagnant ».
1. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre de probabilité.

2. Calculer la probabilité de l’événement « le jeton tiré est un jeton vert et marqué gagnant ».
0,4 x 0,75 =0,3.
3. Soit P(G) la probabilité de tirer un jeton gagnant. Montrer que P(G) = 0,4.
Formule des probabilités totales : 0,6 / 6 + 0,4 x0,75 =0,1 +0,3 = 0,4.
4. Sachant que le jeton tiré est gagnant, calculer la probabilité qu'il soit de couleur rouge.
P_G(R) = P(G n R) / P(G)=0,1 / 0,4 = 0,25.
5. On tire maintenant, toujours au hasard et simultanément, deux jetons dans l'urne. Calculer la probabilité que les deux jetons soient marqués gagnant.
Dans le cas de tirages successifs :
probabilité de tirer un premier jeton gagnant 4 / 10 = 0,4= 2 /5
Probabilité de tirer un second jeton gagnant : 3 / 9 = 1 /3.
Probabilité de tirer deux jetons gagnants : 2 / 5 x1 /3 = 2 / 15.