Mathématiques, tableau de variation d'une fonction.

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f(x) = 2x3+x+1 ; f '(x) = 6x2+1 ;
f '(x) strictement positive et f(x) strictement croissante. Courbe c.


g(x) = 4x3-x-1 g'(x)=12x2-1 s'annulle pour x =±1 / 2 racine(3). Graphe b.


h(x) = 3x3+1 ; h '(x) = 6x2 s'annule pour x = 0. Courbe a.



f(x) = x4-2x2. f '(x) = 4x3-4x = 4x(x2-1) =4x(x+1)(x-1).

Fonction paire, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ;  on aurait pu limiter l'étude à [0 ; +oo[.

f(x) = (x-2) / (x2+1).
On pose u = x-2 et v = x2+1 ; u' = 1 ; v' = 2x.
f '(x) =(u'v-v'u) / v2.
f '(x) =(x2+1-2x(x-2) / (x2+1)2 =(-x2+4x+1) / (x2+1)2 = (-x+2+racine(5) ( x-2+racine(5)) /(x2+1)2 .
Le dénominateur est toujours positif.
f(x) = x3 / 3-1,5x2+2x+1. f '(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2).

f(x) =-5x2+1,5x. f '(x)=-10x+1,5.


f(x) = (1-x) racine(x) définie sur R+.



f(x) = x+16 /x définie sur R*. f'(x) =1-16 /x2 =(x2-16)/x2 = (x+4)(x-4) / x2.

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 f(x) = x3+7x+24. f '(x) = 3x2 +7.
f '(x) >0 ; f(x) strictement croissante.

f(x) = x-1 /x définie sur R*.
f '(x) =1+1 /x2 =(x2+1) / x2.
f '(x) >0 ; f(x) strictement croissante.

 définie sursur R+.
f '(x) <0 ; f(x) strictement décroissante.

f(x) = -x3 +1 /x définie sur R*.
f '(x) = -3x2-1/x2 ; f '(x) <0 ; f(x) strictement décroissante.


f(x) = x3(x-4 / 3).
On pose u = x3 ; v = x-4 /3.
u' = 3x2 ; v' = 1 ; u'v+v'u = 3x2(x-4 /3) +x3 =4x3 -4x2 = 4x2(x-1).

f(x) = x /(1+x2).
On pose u = x et v = 1+x2 ; u' = 1 ; v' = 2x.
(u'v -v'u) / v2 =(1+x2-2x2) /(1+x2)2=(1-x)(1+x) / (1+x2)2.

f(x) = (x2+x+1) / (1+x) définie sur -{-1}.
On pose u =x2+x+1 et v = 1+x : u' = 2x+1 ; v' = 1.
(u'v -v'u) / v2 =((1+x)(2x+1)-(x2+x+1)) / (1+x)2.
f '(x) = (1+3x+2x2) /(1+x)2 = x(x+2) / (1+x)2.

f(x) = 1 /(1+racine(x) définie sur R+.

f '(x) >0 ; f(x) strictement décroissante de 1 à plus 0.
f(x) = x3-x2-8x+12. f '(x) =3x2-2x-8 =(x-2)(x+4/3).



  

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