Machine à glace autonome. Concours ITPE 2021.

La machine est équivalente à un congélateur. On utilise un modèle simple de cycle frigorifique pour évaluer l'efficacité.

1 -->2 : compression isentropique : s = 1,75 kJ /kg. Le fluide à l'état de vapeur est compressé et sort du compresseur à haute pression et haute température.
2 --> 3 échange thermique isobare dans le condenseur sous 10 bar : h₂ ~430 kJ / kg ; h₃ ~255 kJ / kg.
Les vapeurs cèdent de la chaleur dans le milieu ambiant ( pièce) et se liquéfient (liquide sous haute pression).
3 --> 4 détente adiabatique dans le détendeur.
Une partie du fluide est vaporisé. Le fluide est à son état le plus froid du cycle.
4 --> 1 échange thermique isobare sous 0,85 bar.
Le fluide absorbant de la chaleur est complètement vaporisé dans l'évaporateur qui se trouve à l'intérieur du congélateur.
Masses volumiques (kg m^-3) aux différents points du cycle :
µ₁ = 4,2 ; µ₂ =45,5 ; µ₃ = 1,3 10³ ; µ₄ = 12,5.
C_p ~C_v ~1 kJ kg^-1 K^-1.
36. Donner et justifier les signes des grandeurs algébriques suivantes : w₁₂, q₂₃ et q₄₁.
w₁₂>0 travail reçu dans le compresseur.
q₂₃ < 0 : condensation du fluide qui libère de l'énergie dans le milieu ambiant.
q₄₁ > 0 : le fluide reçoit de l'énergie des aliments à refroidir pour passer à l'état vapeur.
37. Dans un congelateur, où se situent la source froide et la source chaude.
Source chaude : l'extérieur chauffé par le condenseur ; source froide : l'intérieur du congelateur.
38. La transformation 3 --> 4 est une détente de Joule-Thomson. Le détendeur peut être assimilé à un simple étranglement local de la conduite : il n'y a pas de pièce mobile et les parois sont calorifugées. Justifier que cette étape est isenthalpique.
Pas de pièce mobile, donc pas de travail ; parois calorifugées, donc pas d'échange de chaleur avec l'extérieur.
39. Etablir que lors de la transformation 3 -- > 4 , la variation d'enthalpie peut s'écrire : Dh₃₄ = Dh_vap(T₄) x₄ +C_p(T₄-T₃).
x₄ : titre en vapeur.
Energie nécessaire pour vaporiser une partie du liquide : Dh_vap(T₄) x₄ ;
énergie nécessaire pour amener le fluide de la température T₃ à T₄ : C_p(T₄-T₃).
40. Déterminer graphiquement Dh_vap(T₄). En déduire par calcul (T₄-T₃) variation de température lors de la transformation 3--4.
Etat 4 : fraction de la vapeur : 0,45 ; fraction du liquide 0,55.
h₁ = 380 kJ kg^-1 ; h₄ =250 kJ kg^-1 ; Dh_vap(T₄) = h₁ - h₄ = 380-250 = 130 kJ kg^-1 .
x₄ =0,45 ; C_p ~C_v ~1 kJ kg^-1 K^-1.
T₄-T₃=130 x 0,45 / 1 ~59°C.
41. Rappeler la définition de l'efficacité et donner son expression.
Au cours d'un cycle le fluide reçoit le travail w₁₂ , prend la chaleur q₄₁ à la source froide (aliments à refroidir) et céde la chaleur q₂₃ à l'extérieur, source chaude.
efficacité : énergie thermique enlevée à la source froide divisée par le travail investi.
e = q₄₁ / w₁₂.
42. Déterminer graphiquement les variations d'enthalpie au cours des transformations du cycle.
h₁₂ ~430-380 =50 kJ kg^-1 ; h₂₃ ~255-430 = -175 kJ kg^-1 ; h₃₄ = 0 kJ kg^-1 ; h₄₁ ~125 kJ kg^-1 .
43. Déterminer w₁₂, q₂₃ et q₄₁. En déduire l'efficacité.
w₁₂ ~55 kJ kg^-1 ; q₂₃ = -180 kJ kg^-1; q₄₁~125 kJ kg^-1 .
e =q₄₁ / w₁₂ =125 / 55 =2,3.
44. Etablir l'espression de l'efficacité de Carnot en fonction des températures ( T_chaude = 40°C ; T_froide = -30°C) Faire l'application numérique et conclure.
Premier principe : w₁₂ +q₂₃+q₄₁ = 0 sur le cycle.
Second principe : q₂₃/ T₃+q₄₁/ T₄ = 0 sur le cycle ( transformations réversibles).
q₂₃ / q₄₁= -T₃ / T₄ ;
e_c = q₄₁ / w₁₂ = -q₄₁ / (q₂₃+q₄₁) = -1 / (1+ q₂₃/ q₄₁).
Or q₂₃ / q₄₁= -T₃ / T₄ ;
e_c = -1 /(1-T₃ / T₄) =T₄ / (T₃-T₄) =(273-30)/(40+30)~ 3,5.
Valeur maximale correspondant à un cycle réversible ; l'efficacité d'un cycle réel est inférieure à celle du cycle de Carnot.