Pendule
élastique, circuit RLC, interférences, concours d'entrée en première
année de cycle
ingénieurs filière sciences et technologie.
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Pendule élastique. (5 points).
Un pendule élastique vertical est constitué d'un solide ponctuel S de
masse m = 300 g fixé à l'extrémité d'un ressort de masse négligeable et
de raideur k. Prendre g = 10 m s-2. Lorsqu'on accroche S sur
le ressort celui-ci s'allonge de x0 = 2,5 cm lorsque
l'ensemble solide ressoort est à l'équilibre.
1. Calculer la
raideur du ressort.
Poids P = mg ; force de rappel exercée par le ressort : F = kx0.
A l'équilibre : mg = k x0 ; k
= mg / x0 =0,300 x 10 / 0,025 =1,2 102 N / m.
2. L'ensemble étant à l'équilibre,
on étire S du point O de OA = a = 1 cm et on le lance vers le haut avec
une vitesse de module v0 = 0,78 m /s à la date t =0. S
oscille ensuite librement. Les forces dissipatives sont négligées.
L'origine de l'énergie potentielle de pesanteur est la position
d'équilibre du solide. L'abscisse de M est z = mesure algébrique de OM.
2.1 Faire le schéma et représenter
les forces appliquées au solide S à un instant quelconque.
2.2. Déterminer
l'équation différentielle du mouvement de S.
Ecrire la seconde loi de
Newton sur l'axe Oz : -k(z-L0)+mg=mz"
-k(z-zéq +zéq
-L0)+mg = mz" ; -k(z-zéq ) -k(zéq -L0)+mg
= mz"
Or k(zéq -L0)=
mg d'où : -k(z-zéq ) = mz".
On choisit la position
d'équilibre comme nouvelle origine en posant u = z-zéq :
il vient : -ku = mu" soit u"
+k/m u= 0 ; u"+w2u = 0 (1) avec w2 = k/m = 120 / 0,3 =400 ; w = 20 rad /s.
2.3. L'équation horaire du mouvement
est de la forme z = Zm sin ( wt+f). Déterminer Zm, w et f.
Zm n'est pas égal à "a" car le pendule est lancé initialement avec une vitesse v0.
On choisit un axe vertical orienté vers le haut, l'origine est à la position d'équilibre.
Vitesse dz/dt
= Zm w cos ( wt+f).
A t = 0 ; v0 =Zm
w cos (f)= 0,78.
Zm cos (f)= 0,78 / 20 = 0,039.
A t = 0, z = -a
: -a = Zm sin (f) ;
tan (f) =-a / 0,039 = -0,01 / 0,039 = -0,251 ; f
~ -0,25 rad.
Par suite Zm =-a / sin
(f) =-0,01 / sin(-0,25) ~
0,04026 m.
z = 0,04 sin (20 t-0,25).
2.4. Déterminer l'énergie mécanique
du système ressort solide S.
Energie mécanique = énergie potentielle élastique + énergie potentielle de pesanteur + énergie cinétique.
EM = ½kz2 + mgz + ½mv2 =½ka2 + ½mv02
en absence de forces dissipatives.
EM
=0,5 x120 x 0,012 +0,5
x0,30 x0,782 = 0,006 +0,09126 =0,09726 ~0,097 J.
2.5. A quelle date le solide S
passe-t-il pour la première fois par sa position d'équilibre ?
L'énergie
mécanique est sous forme cinétique à la position d'équilibre, cette
position étant prise comme origine des énergies potentielles.
La vitesse est alors maximale.
Au passage pour la première fois à la position d'équilibre, la vitesse est dans le sens de l'axe :
Donc cos (20 t-0,25) = 1.
20 t-0,25 = 0.
t = 0,251 / 20 ~ 0,013 s.
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Circuit RLC. 4 points.
Un
circuit RLC série comprend un résistor R = 30 ohms, une bobine
d'inductance L = 0,30 H et un condensateur de capacité C = 20 µF. Ce
dipôle est alimenté par une tension sinusoïdale variable de pulxation w
variable de valeur efficace constante U = 100 V.
1. Déterminer à la résonance les valeurs de w0 et I0 de la pulsation et de l'intensité du courant.
A la résonance LC w02 = 1.
w0 = 1 /(LC)½ =1 / (0,30 x20 10-6) ½ ~ 408 rad /s.
I0 = U / R = 100 / 30 ~3,3 A.
2. Pour w1= 500 rad /s, déterminer le déphasage entre l'intensité et la tension.
La phase de l'intensité est prise comme origine des phases.
tan j = (Lw - 1 /(Cw)) / R.
tan j =(0,3 x400 -1 /(20 10-6x400)) / 30 =(120 -125) /30 =-0,167 ; f ~ -0,165 rad.
3. Exprimer I0 en fonction de I, w, w0 et Q ( facteur de qualité du dipôle, où I est l'intensité du courant correspondant à la pulsation w.
Q = Lw0 / R=1/ (RCw0).
Z =[R2 +(Lw-1/(Cw))2]½ =U / I.
U =[R2 +(Lw-1/(Cw))2]½ I
I0= U / R
RI0 =[R2 +(Lw-1/(Cw))2]½ I.
I0 =[1 +(Lw / R-1/(RCw))2]½ I.
I0 =[1 +(Qw / w0 - (Qw0/w))2]½ I.
Interférences.
On réalise des interférences à la surface de l'eau à partir de deux points sources S1 et S2 animés par un même vibreur.
Les sources vibrent à la même fréquence, avec la même amplitude et sont constamment en opposition de phase.
1. Ecrire l'équation d'un point M situé à une distance d1 de S1 et d2 de S2.
Signal émis par S1 : s1(t) =a cos (wt) ;
Signal émis par S2 : s2(t) =a cos (wt+p) .
En un point M : s1(M,t) =a cos (w(t-d1 /c)) = a cos(wt-wd1 /c).
s2(M,t) =a cos (w(t-d2 /c)+p))=a cos(wt-wd2 /c+p).
Le signal résultant est de la forme :
s(M,t) = s1(M,t) +s2(M,t).
cos p + cos q = 2 cos ((p+q)/2)cos ((p-q) / 2).
s(M,t) =2 cos (wt-w(d1+d2)/(2c)+p/2) cos(w(d2-d1) / (2c)+p/2).
Interférences constructives : w(d2-d1) / (2c)+p/2 = 2 kp avec k appartenant à Z.
w = 2p / T ; w / (2c) = 2p / (2cT) = p / l.
(d2-d1) / l = 2 k+1/2.
La différence de marche est égale à un nombre impair de demi-longueur d'onde.
Interférences destructives : w(d2-d1) / (2c)+p/2 = (2 k+1)p/2 avec k appartenant à Z.
(d2-d1) / l = 2 k.
La différence de marche est égale à un nombre entier de longueur d'onde.
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