Physique, Concours interne IIM 2021. Instruments à cordes, optométrie

Instruments à cordes.
On considère une corde de masse linéique µ dans un repère orthonormé Oxy. Au repos elle est rectiligne, parallèle à l'axe horizontal Ox et tendue avec une tension T₀.
En mouvement, le déplacement du point de la corde en x à l'instant t est noté y(t). On suppose que les déplacements sont petits, de même que l'angle a que fait la corde avec l'axe Ox. On suppose aussi que le module de la tension T est une légère perturbation par rapport à sa valeur au repos. On néglige les effets de la pesanteur.

1) On considère l'élément de corde dl situé entre les plans d'abscisses x et x+dx. Montrer que dl ~dx.
cos a ~ 1 =dx / dl ; dl ~dx.
2) et 3) Montrer que l'on peut écrire pour un élément de masse dm la relation suivante.
dm = µdx.
Théorème du centre d'inertie appliqué à un élément de corde situé entre las abscisses x et x+dx :
Au premier ordre T = T₀.

4) A quoi correspond le paramètre c² =T₀ / µ ?
c =(T₀ /µ)^½ est la vitesse de propagation de l'onde sur la corde exprimée en m / s.
5) On effectue le changement de variable suivant : x = x+ct et h = x-ct.
En déduire la relation suivante.
t = (h -x) / (2c) ; x = (h +x) / 2.
y peut être considérée comme une fonction de x et h.

6) En déduire qu'il existe des fonction f et g telles que y(x,t) = f(x+ct) +g(x-ct) et donner le sens physique de ces fonctions.
La forme de l'onde observée à l'instant t, doit se retrouver à l'instant t+t par une translation d'ensemble des ces points constitutifs d'une distance ct.
f(t+t, x+ct) = f(t, x).
f doit donc dépendre uniquement de la combinaison x+ct.
Un raisonnement comparable pour les ondes se propageant vers les x décroissants, conduit à :
g(t+t, x-ct) =g(t, x).
g doit donc dépendre uniquement de la combinaison x-ct.
f(x+ct) décrit une onde se propageant vers les x croissants et g(x-ct) décrit une onde se propageant vers les x décroissants.

7. On considère que la corde est fixée à 2 extrémités x=0 et x = L. Rappeler de manière générale, le principe d'une onde stationnaire. En analyse, comment appelle t-on ce type de problème posé par cette équation aux dérivées partielles ?
Lorsqu'une onde rencontre un obstacle rigide, elle produit une onde réfléchie : la superposition d'une onde progressive sinusoïdale de fréquence f et de l'onde réfléchie sur un obstacle fixe produit une onde stationnaire : une vibration sans propagation, de fréquence f. ... L'onde subit une réflexion sur chaque extrémité.

8. En posant y = f(x) . g(t), montrer que les solutions en ondes stationnaires de l'équation obtenue en 3) sont de la forme :
y(x,t) = y₀ cos ( wt+f) cos(kx+F).

-k² : constante de séparation.
f(x) = A cos ( kx+ f) ; A est une constante.
La corde est fixée en x=0 et en x= L :
f(0) = 0 = A cos ( f) ; f = ±p/2.
f(L) = 0 = A cos ( kL+ f) ; kL+ f = ±p/2 (2p) ; k =n p/ L.
f(L) = B cos ( ckt+ F) ; B est une constante.
y = f(x) . g(t)= y₀ cos ( wt+f) cos(kx+F).
w_n = ck =n c p/ L.

9. Définir les modes propres de la corde. Montrer que les fréquences propres sont de la forme f_n = nc / (2L)
La fréquence propre d'un système est la fréquence à laquelle il oscille librement ( sans force excitatrice extérieure et sans force dissipative) .
Toute vibration de la corde pour laquelle chaque point vibre de manière sinusoïdale avec la même fréquence est un mode propre de vibration.
f_n =w_n /(2p)= nc / (2L)
10. Proposer une expérience permettant de mesurer les fréquences propres d'une corde vibrante.
On continue par l'expérience de la corde de Melde. Cette corde est supposée inextensible, de longueur L, de masse linéïque µ. Elle est tendue à la tension T à l'aide d'une masse accrochée à la corde via une poulie parfaite et excitée par un vibreur de mouvement vertical a cos (wt) à son autre extrémité.

Dans l'expérience de la corde de Melde, la fréquence du vibreur est réglée à l'aide d'un GBF.
Faire varier la fréquence du GBF jusqu'à obtenir un seul fuseau ample entre O et la poulie.
11. Donner la définition de la note de fréquence fondamentale émise par la corde de l'instrument.
n = 1 : fréquence fondamentale ; n > 1 : harmoniques.
12. La gamme des sons audibles par l'homme s'étend environ de 20 Hz à 20 kHz. En déduire la nécessité d'avoir des cordes de carctéristiques différentes sur un même instrument.

f =1/(2L)( F/µ)^½ avec L, µ constants pour une corde donnée.
Pour augmenter la fréquence f, il faut augmenter la tension F de la corde ou diminuer la masse linéïque µ.
La longueur de la corde, sa tension et sa masse linéïque étant limitées, il faut nécessairement plusieurs cordes sur un même instrument, pour couvrir la gamme de fréquences 20 Hz- 20 kHz.