Mathématiques, équation différentielle, concours Geipi polytech 2021.

Exercice 3 (27 points).
On souhaite étudier l'évolution au cours du temps de la concentration d'un analgésique dans le sang : par voie intraveineuse dans la partie A, puis par voie orale dans la partie B.
A. Voie intraveineuse.
l est une constante réelle strictement positive.
On considère l'équation différentielle (E₁) : y '(t) = -l y(t) où y est une fonction définie pour tout réel t.
1. Déterminer la solution générale de (E₁).
y = A e^-lt avec A une constante.
2. On appelle Q la solution de (E₁) vérifiant Q(0) = 0,6. Donner l'expression de Q.
Q(0) = A e⁰ = 0,6 ; A = 0,6.
Q(t) =0,6 e^-lt .
3. Donner la limite de Q en plus l'infini. Donner le sens de variation de Q.
e^-lt tend vers zéro quand t tens vers plus l'infini.
Q(t) est strictement décroissante de 0,6 à 0.
A l'instant t=0, une dose d'un analgésique est injecté dans le sang par voie intraveineuse. La subsatnce se répartit instantanément dans le sang, ce qui donne une concentration initiale de 0,6 mg / L et est ensuite progressivement éliminée. Au bout d'une heure la concentration de médicament présente dans le sang a diminué de 30 %.
4. Calculer l.
Q(1) =0,6 e^-l =(1-0,3) x0,6 = 0,42 ; e^-l =0,42 / 0,6 =0,7 ; l = -ln(0,7) ~0,3567 heure ^-1.
Le médicament reste efficace tant que sa concentration reste supérieure à 0,1 mg / L.
5. Déterminer le temps d'efficacité du médicament.
Q(t) =0,6 e^-lt > 0,1 ; e^-lt > 1 /6 ; -lt > ln(1 /6) ; lt < ln(6) ; t < ln(6) / (-ln(0,7) ; t < 5,02 heures.

B. Voie orale.
On considère l'équation différentielle (E₂) : y'(t) +y(t) = 0,5 e^-0,5t.
6. Vérifier que g(t)=e^-0,5t est solution de (E₂).
g'(t) = -0,5 e^-0,5t.
Repport dans (E₂) : -0,5 e^-0,5t+e^-0,5t =0,5 e^-0,5t est vérifiée quelque soit t.
7. Donner la solution f de (E₂) vérifiant f(0) = 0.
Solution générale de y'(t) + y(t) = 0 : y(t) = A e^-t avec A une constante.
Solution générale de (E₂) : y(t) = A e^-t +e^-0,5t .
f(0) = 0 ; A e^-0 +e^{-0,5 x0} =0 ; A+1 = 0 A = -1.
f(t) = - e^-t +e^-0,5t .
On considère la fonction q(t) = - e^-t +e^-0,5t . On note C_q sa courbe représentative.
9. Donner la limite de q en plus l'infini.
Les termes en exponentielle tendent vers zéro et q(t) tend vers zéro.
10. q' désigne la fonction dérivée de q(t).
q'(t) = e^-0,5t(ae^-0,5t +b).
Déterminer a et b.
q'(t) =e^-t-0,5e^-0,5t =e^-0,5t(e^-0,5t -0,5).
a = 1 et b = -0,5.
11. Donner l'ensemble des solutions réelles de l'inéquation q'(t) >0.
e^-0,5test toujours positif ; e^-0,5t -0,5 > 0 ; e^-0,5t >0,5.
-0,5t > ln(0,5) ; -0,5t > -ln(2) ; t < 2 ln(2) ; t < ln(4).
12. Soit A le point de C_q d'abscisse x_A = ln(4) et d'ordonnée y_A. Calculer y_A.
y_A = - e^-ln(4) +e^-0,5ln(4) =- e^{ln(1 / 4)} +e^0,5ln(1
/4) =-1 /4 +(1/4)^½= -1 / 4 +1 /2 = 1/4.
13. Compléter le tableau de variation de q sur [0 ; +oo[.

Le médicament cause des effets indésirables quand sa concentration dépasse 0,3 mg / L.
14. Le médicament va t-il provoquer des effets indésirables ?
Non, car la valeur maximale de q(t) est égale à 0,25 < 0,3.