Oral
mathématiques,
concours Advance 2021.
Primitives, équations différentielles.
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Primitives.
41. Soit f la
fonction définie par f(x) = -5 /(x+3)2 et g la fonction
définie par g(x) = x(x2+1)5.
a. Déterminer les
primitives de f.
On pose u = x+3 ; f(u) = -5 / u2 = -5 u-2.
Modèle : primitive de k un :
k un+1 / ((n+1)u').
Dans ce cas k = 5, n = -2 ; u' = 1 ; F(u) = k u-1 /
(-1) soit F(x) = 5 /(x+3) +Cste.
.
b. Déterminer la primitive G de g
vérifiant G(0) = 0.
On pose u = x2+1 ; u' = 2x.
g(u) = 0,5 u' u5.
Modèle
: primitive de k u'un :
k un+1 / (n+1).
G(u) = 0,5 u6 / 6 soit G(x) =(x2+1)6
/ 12 + Cste.
De plus g(0) = 0 = 1/12 soit Cste = 1 /12.
G(x) =(x2+1)6 / 12 +1 /12.
42. Soit f la fonction
définie par f(x) = 3 /(x+2)2 et g la fonction définie par
g(x) =(3x+2) / (3x2+4x+1)½.
a. Déterminer les primitives de f.
On pose u = x+2 ; f(u) =3 / u2 =3 u-2.
Modèle : primitive de k un :
k un+1 / ((n+1)u').
Dans ce cas k = 3, n = -2 ; u' = 1 ; F(u) = k u-1 /
(-1) soit F(x) = -3 /(x+2) +Cste.
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b. Déterminer la primitive G de g
vérifiant G(0) = 2.
On pose u = 3x2+4x+1 ; u'
= 6x+4=2(3x+2).
g(u) = 0,5 u' u-0,5.
Modèle
: primitive de k u'un :
k un+1 / (n+1).
Ici k = 0,5 ; n+1 = 0,5.
G(u) = 0,5 u0,5 / 0,5 soit G(x) =(3x2+4x+1)½ + Cste.
De plus G(0) = 2 = 1+Cste soit Cste = 1.
G(x) =(3x2+4x+1)½ + 1.
43. Soit f la fonction définie par f(x) =
cos(2x) / sin(2x) et g la fonction définie par g(x) =(x-1)
exp(x2-2x).
a. Déterminer les primitives de f.
On pose u =sin(2x) ; u' = 2 cos(2x) ; f(u) =0,5 u' / u.
Modèle : primitive de k u' / u : k ln(u).
Dans ce cas k = 0,5 ; F(u) = k ln(u) soit F(x) = 0,5 ln(sin(2x))+Cste.
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b. Déterminer la primitive G de g
vérifiant G(2½) = 1.
On pose u = x2-2x ; u'
= 2x-2=2(x-1).
g(u) = 0,5 u' eu.
Modèle
: primitive de k u'eu :
k eu .
Ici k = 0,5.
G(u) = 0,5 eu soit G(x) =0,5exp(x2-2x) + Cste.
De plus G(2½) = 1 = 0,5 exp(2-2*2½)+ Cste soit
Cste = 1-0,5 exp(2-2*2½)
G(x) =0,5 exp(x2-2x)+1-0,5 exp(2-2*2½).
44. Soit f la fonction définie par f(x) = 2x / (x2-3) et g la fonction définie par g(x) =x/ (x2-1)½ exp((x2-1)½).
a. Déterminer les primitives de g.
On pose u = (x2-1)½ ; u' = x/ (x2-1)½ e ; g(u) = u' eu.
Modèle : primitive de u'eu : eu
soit G(x) = exp((x2-1)½)+Cste.
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b. Déterminer la primitive F de f
vérifiant F(3) = 6½.
On pose u = x2-3 ; u'
= 2x.
f(u) = u' / u.
Modèle
: primitive de u'/ u : ln(u) .
Soit F(x) =ln(x2-3) + Cste.
De plus F(3) = 6½ = ln(9-3)+ Cste soit
Cste = 6½-ln(6)
F(x) =ln(x2-3)+ 6½-ln(6).
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Equations différentielles.
45. On considère les équations différentielles (E1) : 2y'+5y=0 et (E2) : y'+0,25y = 1.
a. Résoudre ces équations.
(E1) :y' +2,5 y = 0 ; f(x) = A e-2,5 x avec A une constante.
(E2) ; solution générale de y'+0,25y = 0 : f(x) = A e-0,25 x avec A une constante.
Solution particulière ; y = 4.
Solution générale : f(x) = A e-0,25 x +4.
b. Déterminer la solution f de (E1) vérifiant f(2) = 1.
1 = A e-5 ; A = e5.
f(x) = e-2,5 x+5 .
46. On considère l'équation différenteille y'-3y=2.
a. Déterminer l'ensemble des solutions de cette équation.
Solution générale de y'-3y=0 : f(x) = A e3x avec A un réel.
Solution particulière : y = -2/3.
Solution générale : f(x) = A e3x -2/3.
b. Déterminer la fonction f vérifiant f(0) =1.
1 = Ae0-2 /3 ; A = 5 /3.
f(x) =5/3 e3x -2/3.
c. Détrminer la
solution g de cette équation sachant que sa courbe représentative admet
au point d'abscisse 0 une tangente de coefficient directeur 3.
g'(x) = 3Ae3x.
g'(0) =3Ae0 =3; 3A = 3 ; A = 1.
g(x) = e3x-2/3.
47. On considère les équations différentielles (E1) : 2y'-3y=1 et (E2) : y'-xy2=0.
a. Déterminer l'ensemble des solutions de (E1).
Solution générale de 2y'-3y =0 soit y'-1,5 y=0 : f(x) = A e1,5x avec A une constante.
Solution pariculière : y = -1/3.
Solution générale de (E1) : f(x) = A e1,5x -1/3.
b. Déterminer la solution de (E1) vérifiant f(0) = 1.
1 =A e0 -1/3; A = 4 /3.
f(x) = 4/3 e1,5x -1/3.
c. La fonction h définie par h(x) = -2/(x2+3) est-elle solution de (E2) ?
Calcul de h '(x) : on pose u =-2 ; v= x2+3 ; u' =0 ; v' =2x..
h'(x) =(u'v-v'u) / v2 =4x /(x2+3)2.
Repport dans (E2) :
4x /(x2+3)2-4x/(x2+3)2=0 est vérifie, donc h(x) est solution de (E2).
48. On considère l'équation différentielle(E) : y'-2y= xex.
a. Déterminer l'ensemble des solutions de y'-2y = 0.
f(x) = A e2x avec A un réel.
b. Déterminer les réels a et b tels que la fonction u(x) = ( ax+b)ex soit solution de (E).
Calcul de u'(x) en posant v = ax+b et w = ex.
v' = a ; w' = ex ; v'w +vw' = aex +(ax+b)ex=(ax+a+b)ex.
Repport dans (E) :(ax+a+b)ex-2 ( ax+b)ex = xex.
ax+a+b-2ax-2b = x.
On identifie :-ax = x soit a = -1.
a-b=0 soit a = b = -1.
u(x) = -(x+1)ex.
c. Déterminer l'ensemble des solutions de ( E).
f(x) = A e2x -(x+1)ex.
49. On considère l'équation différentielle (E) : y' -2y = 4x2-4x.
a. Déterminer l'ensemble des solutions de y'-2y = 0.
f(x) = A e2x avec A un réel.
b. Déterminer les réels a, b et c tels que la fonction u(x) = ax2+bx+c soit solution de (E).
Calcul de u'(x): u'(x) = 2ax+b.
Repport dans (E) : 2ax+b-2ax2-2bx-2c= 4x2-4x.
-2ax2+2(a-b)x-2c+b= 4x2-4x.
On identifie :-2a = 4 soit a = -2.
2(a-b) = -4 soit b = 0
-2c+b =0 ; c = 0.
u(x) = -2x2.
c. Déterminer l'ensemble des solutions de ( E).
f(x) = A e2x -2x2.
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