Oral mathématiques, concours Advance 2021.

Oral mathématiques, concours Advance 2021.

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Dérivées.
Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
1.a. f(x) = ln(x²-2x+3) sur R.
On pose u = x²-2x+3 ; u' = 2x-2.
f '(x) = u' / u = 2(x-1) / (x²-2x+3).

b. g(x) = e^-2x / x sur R*₊.
On pose u = e^-2x et v = x.
u' = -2e^-2x ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v² = (-2xe^-2x-e^-2x ) /x² = -e^-2x(2x+1) / x².

2. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
a. f(x) = (2x²+1)^½.
On pose u = 2x²+1 ; u' = 4x.
f '(x) = ½u' u^-½ =2x (2x²+1)^-½.

b. g(x) = 2x ln(x²+1).
On pose w =x²+1 ; w' = 2x.
u = ln(x²+1) ; u' = 2x /(x²+1) ;
x = 2x ; v' = 2.
g'(x) = u'v +v'u =4x² /(x²+1)+2 ln(x²+1).

3. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
a. f(x) = (x²+1) / (x²-3x+2) sur -{1 ; 2}.
On pose u = x²+1 ; v =x²-3x+2 ;
u' = 2x ; v' = 2x-3.
(u'v-v'u) / v² = [2x(x²-3x+2)-(2x-3)(x²+1) / (x²-3x+2)².
f '(x) =(2x³-6x²+4x-2x³-2x+3x²+3) / (x²-3x+2)².
f '(x) =(-3x²+2x+3) / (x²-3x+2)².

b. g(x) =(2x³-x+1)²⁰²⁰.
On pose u =2x³-x+1 ; u' = 6x²-1 ; g(u) =u²⁰²⁰.
g'(u) =2020 u' u²⁰¹⁹ ; g(x) = 2020(6x²-1)(2x³-x+1)²⁰¹⁹.

4. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
a. f(x) =x e^1/x+3(x²+1)^½.
Premier terme : u =x ; v = e^1/x ; u' = 1 ;v'=-1/x² e^1/x ;
u'v +v'u =e^1/x -1/x e^1/x =e^1/x (1-1/x).
Second terme : u = x²+1 ; u' =2x.
dérivée : x(x²+1)^-½.
f '(x) = e^1/x (1-1/x)+3x(x²+1)^-½.
b. g(x) = (sin(x) +cos(x))²⁰.
u = sin(x) +cos(x) ; u' = cos(x) -sin(x).
g(u) = u²⁰ ; g'(u) = 20 u' u¹⁹ =20(cos(x) -sin(x)) (sin(x) +cos(x))¹⁹.

5. Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :
a. f(x) =e^2x(ln(2x+1) pour x >0,5.
u = e^2x ; v = ln(2x+1) ; u' = 2e^2x; v' = 2/(2x+1).
f '(x) =u'v +v'u =2e^2xln(2x+1) +2e^2x /(2x+1) =2e^2x(ln(2x+1) +1/(2x+1)).

b. g(x) = (ln(x²+1))¹⁸.
u = ln(x²+1) ; u' = 2x /(x²+1).
g(u) = u¹⁸ ; g'(u) = 18 u' u¹⁷ =36x /(x²+1) (ln(x²+1))¹⁷.

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Convexité- points d'inflexion.
6. Soit f la fonction définie sur R par f(x) =(x²+1)e^x et C sa courbe représentative.
a. Etudier les variations de f(x).
Calcul de la dérivée : u = x²+1 ; v = e^x ; u' = 2x ; v' = e^x.
f '(x) = u'v +v'u=2xe^x+(x²+1)e^x=(x²+2x+1)e^x =(x+1)² e^x.
f '(x) >0 ; f(x) est strictement croissante sur R.
b. Etudier la convexité et préciser les éventuels points d'inflexion.
Calcul de la dérivée seconde : u = (x+1)² ; v = e^x ; u' =2( x+1) ; v' = e^x.
f " (x) = u'v +v'u=2(x+1)e^x+(x+1)²e^x=(x²+4x+3)e^x .
Etude du signe de f "(x).
e^x >0 , étude du signe de x²+4x+3.
Discriminant D = 4²-4*3 = 4=2².
x₁ = (-4+2) / 2 = -1 ; x₂ = (-4-2) / 2 = -3.

Aux points d'abscisse x = -3 et x = -1, la dérivée seconde s'annule et change de signe. Ces points sont des points d'inflexion de la courbe.

7. Soit f la fonction définie sur R par f(x) =e^-x +x²-4 et C sa courbe représentative.
a. Etudier la convexité de f(x).
f '(x) = -e^-x+2x ; f "(x) = e^-x+2.
La dérivée seconde est strictement positive : la courbe est donc convexe sur R.
b. Soit a un réel positif. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse a.
Coefficient directeur de la tangente : f '(a) = -e^-a+2a.
y = (-e^-a+2a)x + b.
Le point de coordonnées (a ; e^-a +a²-4) appartient à la tangente.
e^-a +a²-4 = (-e^-a+2a)a + b ;
b = (1+a)e^-a -a²-4.
y=(-e^-a+2a)x +(1+a)e^-a -a²-4.
c. Déduire l'équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 0.
a =0 ; y=(-e^-0+0)x +(1+0)e^-0 -0²-4.
y = -x-3.
d. Montrer que pour tout réel x, e^-x+x²-4 > -x-3.
f étant convexe, la courbe C est toujours au dessus de ses tangentes, en particulier en x =0.
Donc pour tout réel x, e^-x+x²-4 > -x-3.

8. Soit f la fonction définie sur R par f(x) =x⁴ -2x³-120x²+3 et C sa courbe représentative.
a. Etudier la convexité de f(x) et préciser les éventuels points d'inflexion.
f '(x) = 4x³-6x²-240x.
f ''(x) = 12x²-12x-240 = 12(x²-x-20).
la dérivée seconde s'annule si : x²-x-20 =0.
Discriminant D =(-1)² +4*20=81 = 9².
x₁ = (1-9) / 2 = -4 et x₂ =(1+9)/2 = 5.
Aux points d'abscisse x = -4 et x = 5, la dérivée seconde s'annule et change de signe. Ces points sont des points d'inflexion de la courbe.

b. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 0.
Coefficient directeur de la tangente : f '(0) = 0.
y = b.
Le point de coordonnées (0 ; 3) appartient à la tangente.
3 = 0 + b ;
b = 3.
y=3.
c. Montrer que pour tout réel x appartenant à [-4 ; 5], x⁴ -2x³-120x²+3 < 3.
Pour tout réel x appartenant à [-4 ; 5], f étant concave, la courbe C est toujours en dessous de ses tangentes, en particulier en x =0.
Donc pour tout réel x appartenant à [-4 ; 5], x⁴ -2x³-120x²+3 < 3.

9. Soit f la fonction définie sur ]0 ; +oo[ par f(x) =x +1/x et C sa courbe représentative.
a. Etudier la convexité de f(x) et préciser les éventuels points d'inflexion.
f '(x) = 1-1/x² ; f ''(x) = 2 x^-3.
Sur ]0 ; +oo[ , f ''(x) est positive et f(x) est donc convexe.
b. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1.
Coefficient directeur de la tangente : f '(1) = 0.
y = b.
Le point de coordonnées (1 ; f(1)=2) appartient à la tangente.
2 = b ;
y=2.
c. Montrer que pour tout réel x appartenant à ]0 ; +oo[, , x +1/x > 2.
Pour tout réel x appartenant à ]0 ; +oo[, f étant convexe, la courbe C est toujours au dessus de ses tangentes, en particulier en x =1.
Donc pour tout réel x appartenant à ]0 ; +oo[, x +1/x > 2.

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