Physique
chimie, le synchrotron Soleil, concours général 2020. Huile de lin.
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On
modèlise l'accélérateur linéaire d'électrons par deux électrodes en
forme de grilles métalliques planes entre lesquelles règne un champ
électrique E uniforme. Les électrons sont émis par une cathode située à
l'abscisse x = 0 avec une vitesse considérée comme nulle. Sous l'effet
du champ électrique, ils se déplacent rectilignement vers l'anode
située à l'abscisse x = D. On fait l'hypothèse que les électrons sont
indépendants et que chaque électron est seulement soumis à la force
électtrique exercée par le champ E. l'influence du poids de l'électron
est négligée dans cette partie.
1. Représenter la
force électrique qui s'exerce sur l'électron ainsi que le vecteur champ
électrique nécessaire à son accélération. En déduire le signe de la
valeur algébrique E de ce champ, puis la différence de potentiel
électrique U = -ED appliquée entre les plaques.
2. Montrer que
l'expression du travail de la force électrique entre anode et cathode
est W = eU. Etablir le lien entre l'énergie cinétique Ec de l'électron au niveau de l'anode à la sortie de l'accélérateur et le travail de la force électrique.
Théorème de l'énergie cinétique entre O et D.
Ec finale -0 = W ; Ec = eU.
3. En déduire la valeur de U et la norme de E. Commenter ce résultat.
Ec = 100 MeV = 100 x1,6 10-13 =1,0 10-11 J.
U = 1,0 10-11 / (1,6 10-19)=1,0 108 V.
D = 16 m ; |E| =U / D = 1,0 108 /16 =6,25 106 ~6,3 106 V m-1.
Cette valeur est supérieure à 3,6 106 V m-1. L'air devient conducteur ( formation d'arcs électriques). Il est nécessaire de faire le vide à l'intérieur de l'accélérateur.
4. Justifier que l'on peut négliger le poids de l'électron devant la force électrique.
Module de la force électrique : e E = 1,6 10-19 x 6,25 106 =1,0 10-12 N.
Module du poids de l'électron : mg = 9,11 10-31 x9,8 ~8,9 10-30 N, valeur très inférieure au module de la force électrique.
5. Déterminer
l'expression de la vitesse de l'électron en sortie du LINAC en fonction
de U, e et m Calculer sa valeur et la comparer à c. Conclure.
½mv2 = eU ; v = (2eU / m)½ =(2 x1,6 10-19 x1,0 108 /(9,11 10-31))½~5,9 109 m /s.
Cette valeur étant supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide, le modèle de la physique classique n'est pas valide.
Il faut utiliser le modèle relativiste.
Après la phase d'accélération, l'énergie cinétique de l'électron est 2,75 GeV.
6. Déterminer la valeur du facteur de Lorentz g de l'électron à la sortie du booster. En déduire une valeur approchée de la vitesse de l'électron.
2,75 GeV = 2,75 109x1,6 10-19=4,4 10-10 J.
Ec = (g-1) mc2 ; g-1= 4,4 10-10 /(9,11 10-31 x9 1016)=5,37 103 ; g ~5,4 103 .
1-v2 / c2 = 1/ (5,37 103 ) =1,86 10-4.
v2 / c2 =1-1,86 10-4 ~0,9981 ; v2=0,99981 x9 1016 =8,998 1016 ; v = 2,999 108 m /s~3,00 108 m /s.
A la sortie du booster, l'électron entre dans l'anneau de
stockage circulaire à la vitesse v précédemment calculée. Il y suit une
trajectoire circulaire de rayon R0 = 56 m sous l'effet d'un champ lmagnétique B uniforme, orienté selon une direction orthogonale au plan de la trajectoire.
7. Représenter le
vecteur vitesse de l'électron, la force magnétique subie par ce dernier
et le vecteur accélération de l'électron.
Le vecteur accélération est centripète, l'électron n'étant soumis qu'à la force magnétique.
8. Justifier que le travail de la force magnétique sur une portion quelconque de la trajectoire circulaire est nulle. Conclure.
La force magnétique, perpendiculaire à la vitesse, ne travaille pas. La norme de la vitesse de l'électron est donc constante.
9. Justifier que la norme de l'accélération de l'électron s'écrit a = wc v avec wc = eB / me.
F = ev B = mea ; a = evB / me ; a = wc v.
La puissance P rayonnée par un électron d'accélération a est donnée par la formule de Larmor :
P = e2 / (6 pe0c3) a2.
On précise que pour ce mouvement circulaire a = v2 /R0.
10. Montrer que l'énergie perdue sur un tour vaut : Eperdue = e2v3 / (3e0R0c3).
Pperdue = e2 / (6 pe0c3R02) v4.
Eperdue =Pperdue Dt, avec Dt = 2pR0 / v durée pour effectuer un tour.
Eperdue =e2 / (6 pe0c3R02) v4 (2pR0 / v) =e2v3 / (3e0R0c3).
En tenant compte des effets relativistes, la relation précédente devient : Eperdue = g4e2v3 / (3e0R0c3).
11. Dans l'anneau
se trouvent des cavités accélératrices qui permettent de compenser les
pertes d'énergie du au rayonnement. Déterminer l'énergie , en keV, à
fournir par tour à l'électron.
Eperdue =(5,4 103)4 x (1,6 10-19)2 x(3 108)3 / [3x8,85 10-12 x56x(3 108)3 ] =1,4 10-14 J.
1,4 10-14 / (1,6 10-19)=8,75 104 eV ~88 keV.
Il faut fournir 89 keV à l'alectron à chaque tour pour compenser les pertes d'énergie.
12. Pour quelle raison règne t-il un vide poussé dans l'anneau de stockage ?
Il faut éviter les collisions en électrons et les molécules de l'air.
Il ne faut pas que les molécules de l'air absorbent les photons émis par le synchrotron.
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Une
des propriétés du rayonnement synchrotron est sa large étendue
spectrale. L'examen du vernis du violon doit se faire en utilisant un
rayonnement infrarouge intense.
La brillance est proportionnelle au flux de photons disponible sur
l'échantillon, c'et à dire au nombre de photons reçus par unité
de temps sur la surface exposée de l'échantillon.
13. Vérifier que le synchrotron Soleil produit, entre autres, un rayonnement infrarouge.
L'énergie des photons est comprises entre 1 et 105 eV.
Les longueurs d'onde correspondantes sont comprises entre ::
l = hc / E =6,63 10-34 x3 108 /(1,6 10-19 )~1,2 10-6 m ~1,2 µm.
l = hc / E =6,63 10-34 x3 108 /(1,6 10-19 x 105)~1,2 10-11 m ~0,012 nm.
Un rayonnement infrarouge correspond à des longueurs d'onde supérieures à 0,8 µm.
Donc, le synchrotron Soleil produit, entre autres, un rayonnement infrarouge.
14. Quel est le rôle du monochromateur à la sortie de l'anneau de stockage et à l'entrée de la ligne de lumière ?
La lumière émise par le synchrotron est polychromatique.
Le monochromateur rend cette lumière monochromatique.
15. Justifier les
conclusions obtenues sur la composition du vernis du violon. Quelle
pouvait être l'intention d'Antonio Stradivari en appliquant ce vernis ?
Le vernis est à base d'huile : les colorations rouge et verte correspondent à des liaisons organiques présentes dans une huile.
Le vernis ne contient pas d'élément issu du vivant : pas de coloration bleue indiquant la présence de protéines.
Ce vernis a été appliqué pour colorer le violon ou encore réfléchir davantage la lumière donnant un bel effet esthétique.
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