La corde à piano, Capes physique chimie 2021.

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Lorsque l’instrumentiste frappe une touche du clavier d’un piano à cordes, celle-ci déclenche un mécanisme qui actionne à son tour un marteau qui vient frapper une corde fixée à ses deux extrémités. Celle-ci entre alors en vibration libre tant que la touche est enfoncée. On s’intéresse aux vibrations libres d’une corde du piano. On suppose que la corde est sans raideur et inélastique et on néglige les effets de la pesanteur.
La corde, de masse linéique μ, est tendue avec la tension T0 . Au repos, la corde est rectiligne et parallèle à un axe horizontal (Ox). On étudie les petits mouvements plans transversaux de la corde autour de sa position d’équilibre. On note y(x, t) le déplacement transversal du point de la corde situé à l’abscisse x à l’instant t. L’axe (Oy) est l’axe vertical ascendant.
Mise en équation du mouvement d’une corde de piano dans le cadre du modèle décrit précédemment.
 32. Dans le cadre de l’approximation des petits mouvements et à partir de la deuxième loi de Newton appliquée à un petit élément de corde compris entre x et x + dx, montrer que la norme de la tension de la corde T(x, t) en un point à l’abscisse x à l’instant t vaut T0.
 Montrer alors que la fonction y(x, t) vérifie l’équation aux dérivées partielles suivante :

 Comment se nomme cette équation ? Ces ondes sont-elles transversales ou longitudinales ? Justifier.

L'élément  de corde MM' se meut sous l'action des forces de  tension tangentes à la corde aux points d'abscisses x  et x +dx. Le poids reste négligeable devant ces forces.
On projette la relation fondamentale de la dynamique sur les axes Ox et Oy.

Il s'agit d'une équation d'onde ou équation de d'Alembert.
Les ondes sont transversales : la déformation de la corde est perpendiculaire à la direction de propagation des ondes.


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33. On peut lire dans une documentation technique qu’ « une corde de piano est tendue à 85 kg ». En déduire un ordre de grandeur de la valeur de la tension T0 d’une corde. Pour une corde en acier donnant la note « La4 », le diamètre d de la corde est d = 1,1 mm et sa masse volumique ρ vaut ρ = 7,8 × 103 kg.m−3. Calculer la valeur de la célérité ccorde des ondes sur la corde.
T0 = 85 x9,81 ~8,3 102 N.
Masse linéïque de cette corde : µ = r p (d/2)2 =7,8 103 x3,14 x(5,5 10-4)2=7,4 10-3 kg / m.
ccorde = (T0 / µ)½ =(8,3 102 / (7,4 10-3))=3,3 102 m /s.
34. Résolution de problème : « Conception des cordes d’un piano » Une corde est fixée à ses deux extrémités, x = 0 et x = L, ce qui impose les conditions aux limites : y(0, t) = y(L, t) = 0 . La vibration d’une corde frappée peut être décrite à partir des modes d’ondes stationnaires. On s’intéresse à la hauteur du son produit. Les 88 notes d’un piano moderne s’échelonnent du « La 0 » (fréquence fondamentale f = 28 Hz) au « Do 8 » (fréquence fondamentale f = 4,2 kHz). Pour la note « Do 3 » la fréquence fondamentale vaut f = 262 Hz, la valeur de la longueur de corde est L = 65 cm. Expliquer pourquoi les cordes correspondant aux notes les plus graves sont des cordes en acier autour desquelles on a enroulé un fil de cuivre.
Longueur d'onde correspondant à la note "La 0" :
f = 28 Hz ; l = ccorde / f = 3,3 102 / 28 = 12 m.
Les modes propres vérifient : L = (n+1) l /2 avec n entier naturel.
Le premier mode propre correspond à L = 6,0 m.
Cette corde est trop grande et ne rentre pas dans un piano.
En lestant les cordes en acier des notes graves avec un fil de cuivre :
- la tension T0 ne change pas ;
- la masse linéïque µ de la corde croît ;
- ccorde
= (T0 / µ)½diminue en conséquence.
- la longieur d'onde
l = ccorde / f diminue.
La longueur de la corde est donc diminuée.






  
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