Imagerie numérique.

Jacques et Pierre Curie ont découvert en 1880 l'effet piézoélectrique. Cet effet est présent dans les matériaux cristallins ne possédant pas de centre de symétrie. Il se traduit par la capacité de certains matriaux à se polariser et à faire apparaître des charges électriques de surface suite à une contrainte mécanique qui les déforme ( effet direct). La déformation résultant de l'application d'un potentiel électrique est appelée effet inverse. Un cristal piézoélectrique peut être utilisé comme capteur et actionneur

Modèle électrique du quartz.
Un cristal de quartz est taillé sous forme d'une lame à faces parallèles, d'épaisseur e. Sur ces deux faces en regaed, on effectue un dépôt métallique permettant d'obtenir deux électrodes, puis de connecter l'ensemble à un circuit électrique.
L'application d'une différence de potentiel u entre les électrodes conduit à l'apparition d'une charge ±q sur celles-ci, et à une variation d'épaisseur du quartz, d'une quantité algébrique x. La figure suivante définit les conventions d'orientation.

On admet pour l'instant les équations constitutives (EC).
q / C +ax = u ; mx"+dx'+kx+aq=0.
Les coefficients C, m, d, k et a sont des constantes positives.
1. Etablir l'équation différentielle reliant la variation d'épaisseur x à la différence de potentiel appliquée aux bornes du quartz. En déduire l'équation, notée (E), vérifiée par la vitesse v = x'.
q / C +ax = u donne q = (u-ax) C.
Repport dans mx"+dx'+kx+aq=0 :
mx" +dx' +kx+a(u-ax) C =0.
mx" +dx' +(k-a²C)x= -Cau.
Dériver par rapport au temps : mv" +dv' +(k-a²C)v=-Ca du /dt (E).
2. La stabilité du système est étudiée pour le régime libre u = 0. Qu'appelle-t-on stabilité ? A quelle(s) condition(s) portant sur les coefficients le système est-il stable ?
En absence d'excitation extérieure ( dans ce cas u =0 ), après avoir subi un écart à sa position d'équilibre, un système est stable y revient.
Si u = 0, l'équation (E) s'écrit : mv" +dv' +(k-a²C)v= 0.
Equation caractéristique : mX² +dX+(k-a²C)=0.
Discriminant D =d²-4m(k-a²C).
Si D >0, l'équation possède deux racines reélles notées X₁ et X₂.
Si ces deux racines sont négatives, le système est stable.
X₁X₂ =(k-a²C) / m >0 soit (k-a²C) >0.
X₁+ X₂ = -d /m < 0.
3. Dans toute la suite, on supposera que k > Ca². Réécrire l'équation (E) en utilisant les grandeurs :
w₀ =[(k-Ca²) / m]^½ et Q = mw₀ / d.
v" +d / m v' +(k-a²C) / m v= -Ca / m du /dt.
v" +w₀ / Q v' +w₀²v= -Ca / m du /dt.
4. On suppose que u(t) est un échelon de tension : u(t) = 0 pour t <0 et u(t)=E=constante pour t >0
Le cristal de quartz est initialement au repos. Pour Q > 0,5, montrer que la solution v(t) de cette équation peut se mettre sous la forme v(t) = A e^{-t / t} sin(w'₀t).
Si t < 0, u(t) =0 et v(t) = 0.
Si t >0 : u(t) = Cste ; du /dt =0.
v" +w₀ / Q v' +w₀²v= 0.
Discriminant D = w₀² / Q²-4w₀²=w₀²(1 / Q²-4)=w₀²(1 -4Q²)/ Q².
D < 0 si Q > 0,5.
Racines de l'équation : X = -w₀ /(2Q) [1±j(4Q²-1)^½].
Donner les expressions de t et w'₀ en fonction de Q et w₀. Que dire de w₀ lorsque Q >> 1 ; à quelle situation physique cette limite correspond-elle ?
t =2 Q / w₀ ; w'₀ = w₀/(2Q)(4Q²-1)^½.
La solution générale de (E) vérifiant v(t=0)=0 est : v(t) = A e^-t/t sin ( w'₀t) avec A une constante.
Lorsque Q >>1, w'₀ ~w₀, l'oscillateur oscille à la pulsation propre de l'oscilateur non amorti.
5. On définit le temps de réponse t_q du quartz comme le temps au bout duquel l'enveloppe du signal est inférieure à 5 % de sa valeur initiale. Exprimer t_q en fonction de Q et de la pseudo-période d'oscillation. En déduire une interprétation de Q.
L'enveloppe du sigal est v₀(t) =A e^{-t / t} .
De plus v₀(t) < 0,05 v₀(₀) ; v₀(t) < 0,05 A.
e^{-t / t} < 0,05 ; t > t ln (1/0,05) ; t > t ln (20) ~3 t.
t_q= t ln (20) = 2 Q ln(20) / w₀~6 Q / w₀.
Pseudo-période d'oscillation T ' = 2p / w'₀.
t_q=T ' w'₀ Q ln(20) / (w₀ p)~ T ' w'₀ 3 Q / (w₀ p) ~ T ' w'₀ Q / w₀ .
De plus si Q >>1, w'₀ ~ w₀ et t_q~ T' Q.
Interprétation de Q : nombre d'oscillations du système précédant une diminution d'amplitude de 5 % de la valeur initiale.

On travaille à présent en notation complexe, le quartz étant alimenté par un générateur de pulsation w.
6. Le courant i parcourant la quartz est défini en convention récepteur. Définir, puis calculer à partir de (EC), l'impédance complexe Z du dipôle. Celle-ci sera exprimée en fonction de w, k, a, C, d et m.

7. On cherche à montrer que ce comportement est équivalent à celui du dipôle électrique suivant.

Circuit électrique équivalent à la lame de quartz.
Calculer l'impédance équivalente Z_e de ce modèle. Par identification, vérifier qu'elle se comporte comme Z. Donner les valeurs de C_s, R_s, L_s et C_p en fonction de C, a, m, d et k.
i = j w q.
Les équations notées (EC) s'écrivent :
q / C+ ax =u. (1)
mx"+dx'+kx+aq=0. (2)
x' = j w x ; x" = -w² x ;
(-m w² + d j w + k ) x+aq=0.
On pose A = -m w² + d j w + k.
A x + aq=0.
(1) donne : x =(u - q / C)/ a ; par suite A (u - q / C)/ a + aq=0.
u - q / C+ a²q / A=0 ; u = q [ 1/ C- a² / A] =i / (jw)[ 1/ C- a² / A].
Z = u / i = 1 / (jw)[ 1/ C- a² / A].

On identifie : C = C_p ; C_s =a²C² /(k-Ca²) ; R_s = d / (a²C²) ; L_s = m / (a²C²)
8. Dans les quartz réels, on peut avoir Q ~10⁵, de sorte que R est très faible. On étudie dans cette question le cas R_s =0.
Exprimer l'impédance Z. Comparer w_s à w₀.
Pulsation de résonance série : w_s² = 1 /(L_s C_s) ;
L_s C_s=m / (k-Ca²); par suite w_s =w₀, pulsation propre du quartz.
Pulsation de résonance parallèle : w_p² =(C_p+C_s) / (L_sC_sC_p).

Pourquoi parle t-on de résonance en w_s et d'antirésonance en w_p ? Que vaut le courant dans la branche série à w = w_s ?
Z est nulle si w = w_s : le courant parcourant le quartz est donc très grand. Il s'agit d'une résonance en courant.
Z est infinie si w = w_p : le quartz n'est parcouru par aucun courant, il se comporte comme un interrupteur ouvert, il s'agit d'une antirésonance.
Les valeurs typiques sont de l'ordre C_p ~10^-12 F et C_s ~10^-14 F. Calculer le paramètre (w_p²-w_s²) / w_s² et donner sa valeur numérique. Qu'en conclure sur la position de ces deux pulsations ?
(w_p²-w_s²) / w_s² = w_p² / w_s² -1 =[ (C_p+C_s) / C_p]²-1 =1,01²-1= 0,02.
Les deux pulsations sont très proches.
Proposer une expression approchée de (w_p²-w_s²) / w_s² en fonction de l'écart relatif entre w_s et w_p.
(w_p²-w_s²) / w_s² =(w_p - w_s ) (w_p + w_s )/ w_s² ~2 (w_p - w_s ) / w_s.

9. On suppose que R_s diffère de zéro. On veut justifier que la résonance et l'antirésonance sont bien visibles séparément. Le facteur de qualité Q représentant le rapport entre la pulsation de résonance et la bande passante, donner la largeur de la résonance et la comparer à l'écart entre w_s et w_p. Si Q = 100, séparerait-on la résonance de l'antirésonance ?
Bande passante : Dw =w₀ /Q = w_s / Q.
Dw / w₀ = 1 / Q = 10^-5.
(w_p - w_s ) / w_s =0,01.
Dw / w₀ << (w_p - w_s ) / w_s .
La résonance et l'antirésonance sont bien séparées. Ce serait faux si Q = 0,01.