Mathématiques BTS Opticien-lunetier 05/19.

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 Exercice 1.(10 points).
Le traitement de certaines infections touchant l'intérieur de l'oeil nécessite l'administration d'antibiotiques.
A. Etude d'une équation différentielle. ( administration par voie intraveineuse).
On modélise la concentration de l'antibiotique dans le sang ( µg / L ) en fonction du temps ( heure) par une fonction solution de l'équation différentielle (E) :
y' +0,2 y = 0.
La concentration initiale est 20 µg / L.
1.a Déterminer les solutions de (E).
y = A e-0,2t avec A une constante.
20 = A e0 =A.
y = 20 e-0,2t.
2. On appelle demi-vie d'un médicament, la durée en heure, à l'issue de laquelle la concentration du médicament est égale à la moitié de sa valeur initiale.
a. Résoudre e-0,2t = 0,5.
-0,2t = ln(0,5) ; 0,2 t = ln(2) ; t = ln(2) / 0,2 ~3,47 heures.
b. En déduire la demi-vie de cet antibiotique ( arrondir à la minute ).
3 h 28 min.
 3. En pharmacologie, l'aire sous la courbe de la fonction correspondant à la concentration est utilisée pour comparer la biodisponibilité d'un médicament entre deux dosages ou modes d'administration différents, le mode d'administration intraveineuse étant celui de référence..
a. Déterminer une primitive de la fonction f(t) = 20 e-0,2t.
F(t) = -20 /0,2 e-0,2t = -100 e-0,2t.
b. Montrer que l'aire, en unité d'aire, limitée par la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation t=0 et t = 15 vaut 100(1-e-3).
F(15)-F(0) = -100 (e0-e-3)=100(1-e-3) unités d'aire..

B. Etude d'une fonction.
La concentration dans le sang de cet antibiotique administré par voie orale peut être modélisé par la fonction g(t) = 20(e-0,2t -e-2t).
 1. Montrer que g'(t) = 40 e-2t(1-0,1e1,8t).
g'(t) =20 (-0,2 e-0,2t +2e-2t).
g'(t) =20(-0,2 e-2t x e1,8t  +2e-2t).
g'(t) =40(-0,1 e-2t x e1,8t  +e-2t).
g'(t) = 40 e-2t(1-0,1e1,8t).
b. Etudier le signe de g'(t) sur [0 ; +oo[.
 e-2t >0.
Le signe de la dérivée est celui de  1-0,1e1,8t.
1-0,1e1,8t >0 ; 1> 0,1e1,8t ; 10 > e1,8t ;
ln(10) > 1,8 t ; t < ln(10) / 1,8. ( ~1,28).
 Si  t < ln(10) / 1,8, g'(t) positive ;  si  t > ln(10) / 1,8, g'(t) négative.
c. Donner les variations de la fonction g.
 Si  t < ln(10) / 1,8, g(t) est strictement croissante ;  si  t > ln(10) / 1,8, g(t) est strictement décroissante.
d. En déduire la concentration maximale ( arrondir au dixième).
g(1,28) = 20(e-0,2 x 1,28 -e-2 x1,28) ~20 x (0,774 -0,0773) ~13,9 µg / L.

 2. La disponibilité absolue entre deux valeur  est ici le quotient de l'aire sous la courbe associée à l'administration par voie orale par l'aire sous la courbe associée à l'administration intraveineuse.
Dans le cas d'une administration orale, l'aire sous la courbe délimintée par t = 0 et t = 15, l'axe des abscisses et la courbe est 85,02 unités d'aire.
Calculer la biodisponibilité absolue de cet antibiotique.
85,02 / (100(1-e-3)) ~85,02 / 95,02 ~0,895. ( ~89 %).

C. Etude d'une suite. ( administration répétée par voie intraveineuse ).
On décide d'injecté à intervalles de temps réguliers la même dose d'antibiotique par voie intraveineuse. l'intervalle de temps entre deux injections est choisi égal à la demi-vie du médicament, arrondi à la dizaine de minutes soit 3 h 30 min. Chaque nouvelle injection enaîne une hausse de concentration d'antibiotique de 20 µg / L.
On modélise la concentration de l'antibiotique ( en µg / L) immédiatement après le n ième injection par la suite (un) définie par :
u1 =20 ; un+1 = 0,5 un +20.
 1. Calculer u2.
u2 = 0,5 u1 +20 = 10+20 = 30.
 2. On pose vn = un-40.
a.  Montrer que vn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
vn+1 = un+1-40 =0,5 un +20-40
vn+1 =0,5 un -20.
vn+1 =0,5 (un -40)=0,5 vn.
La suite (vn) est géométrique de raison 0,5 et de premier terme -20.
b. En déduire une expression de un en fonction de n.
vn = -20 x0,5n-1 ; vn = un-40.
un = vn+40.
un =40-20 x0,5n-1 .
c. Montrer que un peut s'écrire : un =40-40 x0,5n .
un =40-20 x2 x0,5 x0,5n-1 .
un =40-40 x0,5 x0,5n-1 .
un =40-40 x 0,5n .
d. En déduire la limite de la suite (un).
-1 < 0,5 <1, donc 0,5n tend vers zéro si n tend vers l'infini et la suite (un) tend vers 40.
3. L'équilibre est atteint dès que la concentration immédiatemment après une injection dépasse 38 µg / L. L'objectif de cette question est de déterminer le nombre minimal d'injections nécessaires pour atteindre cette valeur.
a. Compléter l'algorithme suivant :
n =1
u =20
Tant que u < 38
n= n+1
u=0,5 u +20
Fin Tant Que.
b. Déterminer le nombre minimal d'injections pour atteindre  cet équilibre.
n
 1
 2
 3
 4
 5
u
 20
 30
 35
 37,5
 38,75
Après 5 injections l'équilibre est atteint.

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 Exercice 2. (10 points).
Une entreprise fabrique desmeuleuses de verres.
A. Loi exponentielle.
la durée de bon fonctionnement entre 2 pannes, exprimée en semaine, est modélisée par une loi exponentielle de paramètre l.
1. La durée moyenne de fonctionnement entre 2 pannes est de deux semaines. Montrer que l = 0,5.
l = 1 / moyenne = 1 / 2 = 0,5.
2.a Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement entre deux pannes soit inférieure à une semaine.
p(T < 1 ) =1-e-l =1-e-0,5 ~0,393.
2.b Calculer la probabilité que la durée de fonctionnement entre deux pannes soit supérieure à trois semaines.
p(T > 3 ) =e-3l  =e-1,5 ~0,223.
3. calculer pour une meuleuse, le nombre moyen de pannes survenant en une année ( 52 semaines).
En moyenne une panne survient toutes les 2 semaines.
Donc en moyenne, 26 pannes surviennent en une année.
B. Loi de Poisson.
On considère la variable aléatoire X qui, à chaque meuleuse, associe le nombre de pannes survenues en une année. X suit la loi de Poisson de paramètre 26.
1. QCM. On choisit une meuleuse au hasard dans la production.
a. Quelle est la probabilité qu'elle subisse exactement 20 pannes en une année ?
0,034 ; 0,042 ; 0,139 ; 0,922.
P(X =20) =0,042.
b. Quelle est la probabilité qu'elle subisse au maximum 22 pannes en une année ?
0,061 ; 0,252 ; 0,748 ; 0,832.
 P(X < 22) =0,252.
  2. Une meuleuse sera jugée défaillante à la fin de l'année si elle tombe en panne strictement plus de 40 fois dans l'année. Calculer la probabilité qu'une meuleuse soit défaillante.
P(X >40) =1-P(X < 40) =0,0039 ~0,004.

C. Loi binomiale et loi normale.
On admet que la probabilité qu'une meuleuse soit jugée défaillante est 0,004. Un client se fait livrer 1000 meuleuses. On note Y la variable aléatoire qui, à chaque livraison  de 1000 meuleuses, associe le nombre de meuleuses jugées défaillantes.
1. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
 On choisit 1000 meuleuses es de manière identique, indépendante. Deux issues sont possibles " la meuleuse est défaillante " ou" la meuleuse n'est pas défaillante".
On répète 1000 fois une épreuve de Bernoulli.
Y suit une loi binomiale de paramètre n=1000 ; p = 0,004.
2. On peut approcher la loi de probabilité de la variable Y par une loi normale.
 3. Un client prélève un échantillon de 100 tiges. Il constate que la moyenne des longueurs est 80,02 mm. Quelle sera sa décision ?
a. Calculer la moyenne et l'écart type de cette loi normale.
E = np =1000 x0,004 = 4.
s = (1000 x0,004 x0,996)½ ~1,996 ~ 2.
b. On note Z une variable aléatoire de loi normale N(4 ; 2).
Estimer la probabilité qu'il y ait entre 3 et 7 meuleuses mise au rebut après une année de fonctionnement dans une livraison de 1000 meuleuses, c'est à dire P(2,5 < Z < 7,5).
P (Z < 2,5) =0,2266 ; P (Z < 7,5) =0,960 ; P(2,5 < Z < 7,5) =0,960 -0,2266~0,733.

D. Intervalle de confiance.
On voudrait estimer la proportion inconnue p de clients satisfaits.
On interroge 100 clients. Soit F la variable aléatoire qui à tout échantillon ainsi prélevé, associe la fréquence, dans  cet échantillon, de clients satisfaits. F suit une loi normale de moyenne p inconnue et d'écart type (p(1-p) / n)½.
On constate que 85 clients sont satisfaits.
1. Donner une estimation ponctuelle f de la proportion inconnue p.
f = 85 / 100 = 0,85..
2. Déterminer un intervalle de confiance centré sur f de la proportion p avec le coefficient de confiance de 99 %.
2,58(p(1-p) / n)½ = 2,58(0,85 x0,15 /100)½ =0,092.
Intervalle de confiance ; [0,85-0,092 ; 0,85 +0,092] soit [0,758 ; 0,942].
3. Peut-on affirmer que p appartient à cet intervalle ? Pourquoi ?
L'intervalle de confiance est de 99 %. Il n'est pas certain que p appartiennent à cet intervalle.

  
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