Mathématiques, DNB  Centres étrangers 2021.
Durée 2 heures ; noté sur 100 points.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.


.
.
.. ..
......


...
Exercice 1.  24 points.
1. Décomposer 360 en produit de facteurs premiers.
360 = 23 x32 x5.
2. A partir du triangle BEJ, rectangle isocèle en J, on a obtenu par pavage la figure suivante :

a. Quelle est l'image du triangle BEJ par la symétrie d'axe (BD) ?
Triangle BJF.
b. Quelle est l'image du triangle AMH par la translation qui transforme le point E en B ?
Triangle EFM.
c. Par quelle transformation passe t-on du triangle AIH au triangle AMD ?
Homothétie de centre A et de rapport 2.
3. Calculer en détaillant.

4. Sachant que le diamètre de la lune est d'environ 3474 km, la valeur qui approche le mieux son volume est :
12,3 1017 km3
1 456 610 km318 1011 km32,2 1010 km3 .Vrai.
Rayon = R =3474 / 2 = 1737 km
Volume V = 4 /3 p R3 =4 / 3 x3,14 x17373~
2,2 1010 km3 .

5. On considère un triangle RST rectangle en S. Compléter le tableau. ( Arrondir la valeur des angles à l'unité ).

tan a = RS / TS = 10 / 24 = 0,417 ; a ~23°.
ß = 90-23 ~67°.
Périmètre : 10 +24 +26 =60 mm.
Aire : RS x ST / 2 = 10 x 24 / 2 = 120 mm2.

6. Un rectangle ABCD a pour longueur 160 cm et pour largeur 95 cm.
Les diagonales mesurent exactement 186 cm. Faux.
Diagonale2 = longueur2 + largeur2= 1602 +952 =34625.
Les diagonales mesurent environ 186,077 cm.

Exercice 2. (21 points).
Partie 1.
On lance un dé équilibré à  6 faces et on note le numéro de la face du dessus.
1. Donner les issues possibles.
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6.
2. Quelle est la probabilité de l'événement A : " on obtient 2".
P(A) = 1 / 6.
3. Quelle est la probabilité de l'événement B : " on obtient un nombre impair".
3 cas facorables ( 1 ; 3 ; 5) sur 6 vas possibles.
P(B) = 0,5.
Partie 2.
On lance simultanément 2 dés équilibrés à six faces, un rouge et un vert. On appelle "score" la somme des numéros obtenus sur chaque dé.
1. Quelle est la probabilité de l'événement C " le score est 13" ? Comment qualifie-t-on cet événement ?
Le score maximum est 6 +6 = 12.
P(C) = 0 ; événement impossible.
2. Dans le tableau à double entrée, on remplit chaque case avec la somme des numéros obtenu sur chaque dé.
Compléter le tableau et donner la liste des scores possibles

Scores possibles : 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12.
3.a Déterminer la probabilité de l'événement D : le score est 10".
3 cas favorables sur 36 possibles.
P(D) = 3 /36 = 1 /12.
b.
Déterminer la probabilité de l'événement E : le score est un multiple de 4".
Multiples de 4 : 4 ; 8 ; 12.
9 cas favorabmes sur 36 possibles.
P(E) = 9 / 36 = 0,25.
c. Démontrer que le score obtenu a autant de chance d'être un nombre premier qu'un nombre strictement plus grand que 7.
Nombres premiers : 2 ; 3 : 5 ; 7 et 11 : 15 possibilités.
Nombres strictement supérieurs à 7 : 8 ; 9 ; 10 ; 11 et 12 : 15 possibilités.
La probabilité est la même est vaut 15 / 36 = 5 /12.


.
.

....

Exercice 3. (16 points).
Un professeur propose à ses élèves trois programmes de calculs, dont 2 sont réalisés avec un logiciel de programmation.

1.a Montrer que si on choisit 1 comme nombre de départ, le programme A affiche : on obtient 3.
Soit x le nombre initial :
résultat = 3 (1+x) -3 =3x ; si x = 1, résultat = 3.

b.
Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ, le programme B affiche : on obtient -15.
Soit x le nombre initial :
résultat =  (3+x) (x-5) ; si x = 2, résultat = -15.

2. Soit x le nombre de départ, qu'elle expression obtient-on à la fin de l'éxécution du programme C ?
7x+3-x=6x+3.
3. Un élève affirme qu'avec un des trois programmes on obtient toujours le triple du nombre choisi. A-t-il raison ?
A : résultat = 3(1+x-1) =3x. Vrai.
B : résultat =
(3+x) (x-5)
C : résultat = 3(2x+1).
4.a Résoudre (x+3)(x-5) =0.
x+3 = 0 soit x = -3.
x-5=0 soit x = 5.
b. Pour quelles valeurs de départ le programme B affiche-t-il zéro ?
B affiche zéro si le nombre de départ est 5 ou -3.
5. Pour quelle(s) valeur(s) de départ le programme C affiche-t-il le même résultat que le programme A ?
3x=6x+3 ; 3x+3=0 ; x =-1.

Exercice 4. 19 points.
Aurélie est partie de l'altitude 251 m et arrive au sommet du col à l'altitude 393 m.

Les droites (AB) et (DB) sont perpendiculaires. Les droites (AC) et (CE) sont perpendiculaires. Les points A, D et E sont alignés. Les points A, B et C sont alignés. AD = 51,25 m ; DB = 11,25 m.
1. Justifier que CE = 142 m.
EC =393 -251 = 142 m.
2.a. Montrer que les droites (DB) et (EC) sont parallèles.
Les droites (DB) et (EC) étant toutes deux perpendiculaires à la droite (AC), elles sont donc parallèles.
b. Montrer que DE ~596 m.
Les triangles ADB et AEC sont semblables :
 EC / DB = AE / AD.
AE = EC x AD / DB = 142 x 51,25 / 11,25 =648,9.
DE = AE -AD = 648,9 - 51,25 =595,6 ~596 m.
3. Aurélie roule à une vitesse moyenne de 8 km / h ; si elle part à 9h55 du point D, à quelle heure arrivera-t-elle au point E ?
8 /3,6 ~2,222 m /s.
596 /2,222 =268 s ou 4,47 min environ 4 min 28 s.
4. La pente d'une route se calcule de la manière suivante :
pente = dénivelé / longueur horizontale  parcourue.
Montrer que la pente de cette route est de 22 %.
Pente = BD / AB.
AB2 = AD2-BD2 =51,252 -11,252 = 2500 ; AB = 50 m.
11,25 / 50 =0,225  ( 22,5 %).

Exercice 5. (20 points).
Une station de ski propose à ses clients trois formules pour la saison d'hiver.
A : 36,50 € par jour de ski.
B : abonnement 90 € pour la saison + 18,50 € par jour de ski.( ski plus).
C : 448,50 € pour toute la saison ( ski total).
1. Compléter le tableau suivant :
Nombre de jours de ski
2
6
10
Formule A
73
36,5 x6=219
365
Formule B
127
90+6 x18,5=201
90+185=275
Formule C
448,50
448,50 448,50

2.  On désigne par x le nombre de jours de ski.
f(x) = 90 +18,5 x ; g(x) = 448,5 ; h(x) = 36,5 x.
a. La quelle des trois représente une relation de proportionnalité ?
h(x) = 36,5 x.
b. Associer chaque fonction aux formules A, B, C.
A : h(x) ; B : f(x) ; C : g(x).
c. Calculer le nombre de jours de ski pour lequel le montant à payer avec les formules A et B est identique.
36,5 x = 90+18,5 x.
18x=90 ; x =90 / 18 = 5.
3. On a représenté graphiquement les trois fonctions.
a. Associer à chaque droite la bonne fonction.
b. Avec un budget de 320 €, pendant combien de jour peut-on skier ?.
 A partir de combien de jours de ski, la formule C est-elle la plus avantageuse ?



  
menu