Mathématiques, DNB Asie Pacifique 2021.

Exercice 1 24 points
Pour chacun des six énoncés suivants, écrire sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Il ya une seule réponse correcte par énoncé.
On rappelle que toutes les réponses doivent être justifiées.
1) Le nombre 126 a pour diviseur 252 ; 20 ; 6 vrai.
126 / 6 = 21.
2) On considère la fonction f définie par : f (x) = x² −2.
L’image de 2 par f est -2. Faux. f(2) = 2²-2 = 2.
f(-2) =0. Faux. f(-2) = (-2)²-2 =4-2= 2.
f(0) = -2. Vrai. f(0) = 0²-2 = - 2.
3) Dans la cellule A2 du tableur ci-dessous, on a saisi la formule
= −5*A1*A1+2*A1−14
puis on l’a étirée vers la droite.

Quel nombre obtient-on dans la cellule B2 ? -65 vrai ; 205 ; 25.
-5 x(-3)²+2x(-3)-14= -45-6-14= -65
4) Les solutions de l’équation x² = 16 sont . . .
-8 et 8 ; -4 et 4 vrai ; -32 et 32.
x = ± racine carrée (16).
5) 2×2⁴⁰⁰ est égal à . . .2⁴⁰¹ vrai ; 4⁴⁰⁰ ; 2⁸⁰⁰.
2^(400+1) = 2⁴⁰¹.

6) La largeur et la hauteur d’une télévision suivent le ratio 16 : 9. Sachant que la hauteur de cette télévision
est de 54 cm, combien mesure sa largeur ?
94 cm ; 96 cm vrai ; 30,375 cm .
L / h = 16 / 9.
Si h = 54 cm, L = 54 x16 / 9 = 96 cm.
54 / 16 x 9 =30,375 cm.

Exercice 2 (21 points)
Le quadrilatère ABCD est un carré de côté de longueur 1 cm. Il est noté carré ①.
Les points A, B, E et H sont alignés, ainsi que les points A, D, G et J.
On construit ainsi une suite de carrés (carré ① carré ②, carré ③, . . . ) en doublant la longueur du côté du carré, comme illustré ci-dessous pour les trois premiers carrés.
La figure n’est pas en vraie grandeur.

1. Calculer la longueur AC.
Diagonale du carré de côté1 : AC = racine carrée (2) = 2^½ ~1,414 cm.
2. On choisit un carré de cette suite de carrés.
Aucune justification n’est demandée pour les questions 2. a. et 2. b.
a. Quel coefficient d’agrandissement des longueurs permet de passer de ce carré au carré suivant ?
Coefficient :multiplié par 2.
b. Quel type de transformation permet de passer de ce carré au carré suivant ?
symétrie axiale, homothétie, rotation, symétrie centrale, translation.
Homothétie de centre A et de rapport 2.
c. L’affirmation « la longueur de la diagonale du carré ③ est trois fois plus grande que la longueur de la diagonale du carré ①» est-elle correcte ?
Faux : AI = 2 AF = 4 AC.
3. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de la mesure de l’angle AJB au degré près.
tan ( AJB) = AB / AJ = 1 / 4 = 0,25 ; mesure de cet angle : ~14°.

Exercice 3 (21 points)
Voici un algorithme :

1. Justifier que si on choisit le nombre N de départ égal à 18, le résultat final de cet algorithme est 28.
18 >15 oui.
100-18 x 4 = 28.
2. Quel résultat final obtient-on si on choisit 14 comme nombre N de départ ?
14 < 15.
2x(14+10) =48.
3. En appliquant cet algorithme, deux nombres de départ différents permettent d’obtenir 32 comme résultat final. Quels sont ces deux nombres ?
Soient x et y ces deux nombres.
x > 15 : résultat :100-4x = 32.
4x = 100-32 ; x = 68 / 4 ; x = 17.
y < 15 : résultat : 2(y+10)=32.
2y +20 = 32.
2y = 12 ; y = 6.

4. On programme l’algorithme précédent :

a. Recopier la ligne 3 en complétant les pointillés :
ligne 3 : si réponse > 15 alors
b. Recopier la ligne 6 en complétant les pointillés :
ligne 6 : dire 2*(réponse +10) pendant 2 secondes.
5. On choisit au hasard un nombre premier entre 10 et 25 comme nombre N de départ.
Quelle est la probabilité que l’algorithme renvoie un multiple de 4 comme résultat final ?
Nombres premiers possibles :11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23.
N = 11 : résultat : 2(11+10)=42 ; ce n'est pas un multiple de 4.
N = 13 : résultat : 2(13+10)=46 ; ce n'est pas un multiple de 4.
N = 17 : résultat :100 -4 *17 = 32, multiple de 4.
N = 19 : résultat :100 -4 *19 = 24, multiple de 4.
N = 23 : résultat :100 -4 *23 = 8, multiple de 4.
3 possibilités sur 5 ; la probabilité d'obtenir un multiple de 4 est 3 / 5 = 0,6.