Microphone et enceinte, circuit RC. Bac gnéral Amérique du Nord 2021

Le microphone.
Il permet de convertir un signal acoustique en un signal électrique. Le condensateur présent dans le microphone est formé de deux armatures : la première est constituée d'une membrane mobile en plastique recouverte d'une fine pellicule métallique, la seconde est constituée d'une plaque métallique fixe. Lorsque le microphone ne capte aucun son, la distance entre les armatures est de l'ordre de 15 à 25 µm.
Pour fonctionner, le condensateur doit être chargé : on s'intéresse à une source de tension continue qui n'a pas d'eefet sur le signal électrique de sortie envoyé vers le pré-amplificateur.
On modélise le microphone par le circuit électrique suivant :

E = 48 V ; R = 100 MW.
On étudie la phase de charge, le microphone ne captant pas de son.
B.1. Etablir la relation entre E, u_c(t) et u_R(t).
Additivité des tensions :
E = u_c(t) + u_R(t).
B.2. Montrer que l'équation différentielle vériifiée par uc(t) est E = RC du_c(t) / dt + u_c(t).
u_R(t) = R i(t) avec i(t) = dq /dt et q = Cu_c(t) ;
i(t) = C du_c(t) / dt ; u_R(t) = R C du_c(t) / dt.
Par suite E = RC du_c(t) / dt + u_c(t).
On mesure la tension aux bornes du condensateur lors de sa charge.

Cette courbe peut être modélisée par l'une des trois fonctions mathématiques proposées ci-dessous.
1 : u_c(t) = E(1-e^t/(RC)) ; 2 : u_c(t) = E e^-t/(RC); 3 : u_c(t) = E(1-e^-t/(RC)) .
B.3. Quelle est la fonction qui convient ? Justifier.
Seule 3 convient :
Quand t devient suffisamment grand, le terme en exponentielle tend vers zéro et u_c(t) tend vers E.
B.4. Vérifier que la fonction retenue est solution de l'équation différentielle.
du_c /dt = E /(RC) e^-t/(RC)
Repport dans l'équation différentielle : E = RC E /(RC) e^-t/(RC)+ E(1-e^-t/(RC)) .
E = E e^-t/(RC)) +E -E e^-t/(RC) ; E =E.
L'équation différentielle est vérifiée quel que soit t.
B.5 . Expression de la capacité d'un condensateur plan : C = e S / d.
e : permitivité de l'air ; d : distance des armatures ; S : surface des plaques en regard.
Pour ce microphone e S = 1,4 10^-15 F m.
Déterminer d en exploitant la courbe.
A t = RC, u_c(t) = 0,63 E.
Le graphe donne RC = 7,5 10^-3 s.
R = 100 10⁶ ohms ; C = 7,5 10^-3 / 10⁸ =7,5 10^-11 F.
d = e S / C =1,4 10^-15 / (7,5 10^-11) ~2 10^-5 m.

Sous l'effet des ondes sonores, la membrane se déplace en entraînant une modification de la distance entre les armatures. la tension de sortie envoyée vers le pré-amplificateur est alors l'image des ondes sonores captées par le microphone.
B.6. Détailler l'évolution de la capacité du condensateur lorsque d diminue.
C = e S / d avec e S constant.
Si d diminue, la capacité C augmente.