Mathématiques, bac STI2D biotechnologies Antilles 2020.

Exercice 1.
Dans un centre avicole, les oeufs sont pesés suivant 4 catégories avant expédition.
XL : très gros oeufs d'un poids supérieur ou égal à 73 g ;
L : très gros oeufs d'un poids supérieur ou égal à 63 g et strictement inférieur à 73 g ;
M : pour des oeufs moyens d'un poids supérieur ou égal à 53 g et strictement inférieur à 63 g ;
S : pour les petits oeufs dont le poids est strictement inférieur à 53 g.
On note G la variable aléatoire qui prend pour valeur la masse ( en gramme ) d'un oeuf.
On admet que G suit la loi normale de moyenne µ= 60 et d'écart type s.
1. Sachant que P(52,8 < G < 67,2 =0,95, déterminer s.
On pose Z =( G-µ) / s.
P(52,8 -60 < G-60 < 67,2 -60=0,95.
P( -7,2 < G-60 < 7,2) = 0,95.
P( -7,2 / s < Z < 7,2) / s = 0,95.
2P(Z < 7,2 / s)-1 = 0,95 ; P(Z < 0,9 / s) =0,975 ;
s = 3,7.
Pour la suite de l'exercice, on prend s =4.
2. On prélève au hasard un oeuf dans ce centre.
a. Déterminer la probabilité que cet oeuf soit moyen
P (53 < G < 63) ; P (53 < G) =0,00406 ; P (63 < G) =0,7734 ;
P (53 < G < 63) =0,7734 -0,00406 =0,7333.
b. Déterminer la probabilité que cet oeuf soit un très gros oeuf.
P (G > 73)=1- P(73 < G)=1- 0,9994 ~0,0006.
3. Ce centre affirme que le nombre d'oeufs de catégorie L correspond à 37 % du nombre total d'oeufs.
Sur un lot choisi au hasard de 35 douzaines d'oeufs non triés, on comptabilise 168 oeufs de catégorie L. Avec un risque d'erreur de 5 %, l'affirmation du centre avicole est-elle remise en cause ?
n = 35 x12=420 ; p = 0,37 ; [ p(1-p) / n ]^½= (0,37 x0,63 / 420)^½ =0,0236.
1,96 x[ p(1-p) / n ]^½=1,96 x0,0236 ~0,0462.
0,37 -0,0462 ~0,324 ; 0,37 +0,0462 ~0,416.
Intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % : [0,324 ; 0,416 ].
Fréquence observée 168 / 420 = 0,40.
La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation. On ne peut pas mettre en doute l'affirmation du centre.

Exercice 2.
Une infection est traitée en injectant un médicament par voie intraveineuse. A l'instant t=0, on injecte au patient une dose de 3 UI du médicament qui se diffuse instantanément dans le sang. Le médicament est progressivement éliminé. La quantité de médicament diminue de 20 % par heure. Pour conserver son efficacité thérapeutique, on injecte toute les heures une dose de 2 UI au patient, en évitant un surdosage. On modélise cette situation à l'aide d'une suite u. On a u₀ = 3.
Partie A.
1. Montyrer que u₁ = 4,4.
u₁ = 0,8 u₀ +2 = 0,8 x3 +2 = 4,4.
2. On réalise une feuille de tableur. Parmi les formules proposées, reporter sur votre copie celle entrée en B3, qui, recopiée vers le bas, donne les valeurs successives de u_n.

3. La suite u est-elle géométrique ? Justifier.
u_n+1 = 0,8 u_n +2 ; u_n+1 / u_n n'est pas constant ; la suite n'est pas géométrique.

Partie B.
On considère la suite v définie pour tout n entier naturel par v_n = u_n -10. v₀ = -7.
On admet que la suite v_n est géométrique de raison 0,8.
1. Démontrer que u_n = -7 x 0,8ⁿ +10.
v_n = -7 x 0,8ⁿ ; u_n = v_n +10 =10-7 x 0,8ⁿ .
2. Déterminer la limite de la suite u et interpréter.
-1 < 0,8 < 1, alors 0,8ⁿ tend vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
Au bout d'un temps suffisamment long, la quantité de médicament dans le sang est égale à 10 UI.
3. Un laboratoire recommande de ne pas dépasser 8 UI. Déterminer le nombre maximal d'injections possibles.
10-7 x 0,8ⁿ < 8 ; 2 < 7 x 0,8ⁿ ; 2 / 7 < 0,8ⁿ ;
ln(2 /7) < n ln(0,8) ; n < ln(2 /7) / ln(0,8) ; n < 5,6 soit n < 5.