Mathématiques appliquées, bac STI2D 2021.

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Question 1.
a. On considère l'équation différentielle (E) : y' +100y = 8.
Déterminer la solution v définie sur [0 ; +oo[ de cette équation qui vérifie v(0) = 0.
Solution générale de y' +100 y=0 : y = A exp(-100t), avec A une constante.
Solution particulière de (E) : y = 8 /100 = 0,08.
Solution générale de (E) : y = A exp(-100t) +0,08.
y(t=0) = A+0,08 = 0 ; A = -0,08.
v(t) = 0,08 (1-exp(-100t)).
b. Cette fonction v modélise la vitesse ( m/s) de chute d'une bille dans un liquide visqueux en fonction du temps écoulé depuis le début de la chute ( exprimé en seconde). Déterminer la vitesse, arrondie à 0,001 m /s, de la bille à la date t = 0,01 s.
v(0,01) = 0,08 (1-exp(-1)) ~0,051 m /s.

Question 2.
La tension  u, exprimée en volt, aux bornes d'un dipole en fonction du temps t ( exprimé en seconde) est donnée par :
u(t) = 7*3½ /4 cos ( 100t) -7 / 4 sin(100 t).
a. Transformer l'écriture de u sous la forme u(t) = Umax cos ( wt+f) où :
Umax représente la tenion maximale.
w représente la pulsation en rad /s.
f représente le déphasage exprimé en radian.
u(t) = 7 /2 [ 3½ / 2 cos ( 100t) - 0,5 sin(100 t)].
u(t) = 7 /2 [ cos (p / 6) cos ( 100t) -sin (p / 6) sin(100 t)].
cos(a+b) = cos (a) cos(b) -sin(a) sin(b).
u(t) =7 / 2 cos(100t +p/6).

Question 3.
On considère les deux fonctions f et g définies et continues sur [0 ; 9] respectivement par :
f(x) = x2-2x+4 ; g(x) = 7x+4.
Déterminer la valeur exacte de l'aire, exprimée en unité d'aire, située entre les courbes représentative de ces fonctions.

Aire située entre la courbe Cg et 'xe des abscisses :
Primitive de g(x) : G(x) = 3,5 x2 +4x+ Cste.
G(9)-G(0) =3,5 *92 +4*9 +Cste -Cste = 319,5 unités d'aire.
Aire située entre la courbe Cf et l'axe des abscisses :
Primitive de f(x) : F(x) =x3 /3 -x2+4x+Cste.
F(9)-F(0)=93 /3 -92+4*9+Cste -Cste =198 unités d'aire.
Aire du domaine situé entre les courbes :
319,5 -198 =121,5 unités d'aire.

Question 4.
La tension en volt aux bornes d'un condensateur lors de sa charge est modélisée par : u(t) = E(1-exp(-t /(RC)).
E = 4 V ; R = 103 ohms ; C = 2 10-3 F.
Déterminer le temps de charge ( à 0,1 s près) nécessaire pour obtenir une tension u(t) égale à la moitié de sa tension maximale.
RC =103 *2 10-3  = 2 s ; tension maximale u(t) = E.
0,5 E = E(1-exp(-0,5 t).
0,5 = 1-exp(-0,5t) ; exp(-0,5t) = 0,5 ; -0,5 t = ln(0,5) ; t ~1,4 s.

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Exercice 4 ( 6 points)
Un joueur de minigolf se trouve au sommet A d'une butte. Il vise le point C.

Le joueur frappe doucement la balle. La balle ne quitte pas le sol, passe en B et se dirige vers C.
Masse de la balle m = 4,6 10-2 kg ; vitesse initiale en A : 1,50 m /s.
1. Quel est le référentiel d'étude du mouvement de la balle ?
Le référentiel terrestre.
2. On étudie le système {balle} du point A vers la base de la butte B. Les frottements sont négligeables.
Au cours de cette phase, la variation de l'énergie cinétique du système est égale  au travail des forces extérieures appliquées au système.
a. Exprimer le travail du poids entre A et B.
Travail moteur du poids en descente : W = mg OA = mgh.
b. Sans calcul indiquer la valeur du travail de la réaction du support.
En absence de frottement, la réaction du support est perpendiculaire au support. Une force perpendiculaire au support, ne travaille pas.
c. Exprimer la variation d'énergie cinétique entre A et B.
Entre A et B, la variation d'énergie cinétique est égale au travail du poids.
DEc = mgh.
d. Vérifier que la vitesse de la balle en B est 3,50 m /s.
½mv2B-½mv2A = mgh.
v2B-v2A =2gh ; v2B=v2A +2gh = 1,52 +2*10*0,5 =12,25 ; vB = 3,50 m /s.

3. On étudie le système entre B et C. On prend t = 0 comme l'instant où la balle quitte le point B.
Les frottements sont négligeables.
a. A quelles forces est soumis le système ?
Le système est soumis à son poids, verticale vers le bas, et à l'action du plan, perpendiculaire au support, vers le haut.
b. Justifier que la vitesse entre B et C est v1 = 3,5 m /s.
Le poids et l'action du plan, perpendiculaires au plan, ne travaillent pas et en conséquence ne modifient pas l'énergie cinétique du système.
4. On considère que le système est soumis à une force de frottement
a. Appliquer le principe fondamental de la dynamique sur le système et en déduire l'équation différentielle que vérifie v en fonction de m et a.
En projection sur l'axe horizontal, -avx = m a = m dvx/dt.
dvx / dt  +a / mvx =0.
b. On admet que la fonction vx(t) = K exp(-at / m) est solution de cette équation différentielle.
A partir des conditions initiales, déterminer la valeur de K.
vx(0) = 3,50 = K exp(0) = K.
c. La balle est en C au temps t = 3,9 s.
La vitesse moyenne de la fonction vx sur  l'intervalle [0 ; 3,9) est donnée par :
Sachant que a = 1,1 10-3 N m-1 s, montrer que v2 = 3,34 m /s.
a / m = 1,1 10-3 / (4,6 10-2) ~0,0239.
Primitive de exp(-0,0239 t) : - exp(-0,0239 t)  / 0,0239.
v2 =3,50 [ -exp(-0,0239 *3,9) -(-exp(0)] / (0,0239 * 3,9) =3,50 [-0,911 +1] / 0,09321 ~3,34 m /s.
d. En comparant v1 et v2, quelle hypothèse peut-on en tirer sur l'impact des frottements sur le mouvement ?
Ecart relatif : (3,50-3,34) / 3,50 =0,046 ( 4,6 %).
Les frottements peuvent être négligés entre B et C.
e. La balle poursuit son mouvement au delà de C. Déterminer la limite de vx en plus l'infini et interpréter le résultat.
exp(-at / m) tend vers zéro quand t tend vers plus l'infini.
vx tend vers zéro quand le temps devient très grand.
La balle va finir par s'arrèter sous l'effet des frottements..

  
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