Un saut stratosphérique

Le dimanche 14 octobre 2012, Félix Baumgartner est entré dans l’histoire en s’élançant de la
stratosphère à plus de 39 000 m d’altitude. Félix Baumgartner a sauté depuis la nacelle d’un ballon
avec une vitesse initiale nulle. Au cours de la première phase de sa chute qui a duréquatre minutes et vingt secondes, il a atteint une vitesse de pointe de 1342 km.h^-1, soit MACH 1,24 ! Dans une seconde phase, il a ouvert son parachute. Au total, son saut depuis la stratosphère a duré neuf minutes et trois secondes.
Avec ce saut, trois records du monde ont été battus :
- « la chute la plus rapide » : il a atteint une vitesse maximale de 1342 km.h^-1 ;
- « le saut le plus haut » : 39 045 m (ancien record : 31 333 m) ;
- le plus haut voyage en ballon d’un homme : 39 045 m (ancien record : 34 668 m).
Dans cet exercice, on cherche à évaluer la pertinence d’un modèle de chute.
Description de l’atmosphère terrestre.

Zone de l'atmosphère	Troposphère	Stratosphère	Mésosphère	Thermosphère
Altitude ( km)	0 à 10	10 à 50	50 à 80	plus de 80
Masse volumique moyenne de l'air ( kg m^-3)	entre 1 et 0,1	entre 0,1 et 10^-3	entre 10^-3 et 10^-5	moins de 10^-5

La chute d'un objet est dite libre si l’objet n’est soumis qu’à l’action de la Terre, et si on peut
négliger l’action de l’air. Lorsque l’action de l’air n’est pas négligeable, l’effet de l’air est d’autant plus important que la vitesse de chute est grande.
Masse de Félix Baumgartner et de son équipement : m = 120 kg ;
constante de gravitation universelle G = 6,67 10^-11 SI ;
masse de la terre M_T =5,98 10²⁴ kg ; rayon terrestre R_T=6380 km.
Champ de pesanteur à l'altitude z : g(z) = g₀ R_T² /(R_T+z)².
Norme f en N de la force de frottement due à l'air : f = 0,4 r_air(z) v².

1. Influence de l'altitude sur le champ de pesanteur.
1.1- Calculer la différence Dg entre les valeurs des champs de pesanteur aux limites de la stratosphère. ( altitudes comprises entre 11 km et 50 km ).
g(11) = g₀ R_T² /(R_T+11)² = 9,81 [6380 / 6391]² =9,7793 m s^-2.
g(50) = g₀ R_T² /(R_T+50)² = 9,81 [6380 / 6430]² =9,658 m s^-2.
Dg = 9,7793 -9,658 =0,121 m s^-2.
1.2. Le champ de pesanteur terrestre peut-il être considéré comme uniforme dans la stratosphère ?
Dg / g = 0,121 / 9,658 ~0,013 ( 1,3 %).
Cette valeur étant inférieure à 2 %, le champ de pesanteur est considéré comme uniforme dans la stratosphère.

Dans la suite on prendra g = 9,66 m s^-2.
Le mouvement de chute est étudié dans le référentiel terrestre suposé galiléen, l'axe vertical z est orienté vers le haut, l'origine O est prise au sol. A t=0, F. Baumgartner s'élance sans vitesse initiale. Sa chute est supposée verticale. z_départ = 38,969 km.
2. Etablir l'équation horaire z(t) à la date t.
Accélération : a = -g ; vitesse , primitive de l'accélération v = -gt.
Position, priitive de la vitesse : z(t) = -½gt² +z_départ.
3. En déduire l'altitude à laquelle la vitesse vaut 307 m /s..
t = 307 / 9,66 =31,78 s.
Repport dans z(t) : z(t) =-0,5 x9,66 x31,78² +38 969 =34,090 ~34 km.
4. Dans le cadre de ce modèle, F. Baumgartner a t-il dépassé la vitesse du son ?
A l'altitude de 34 km, la vitesse du son est voisine de 307 m /s. Il a donc atteint cette vitesse.

En réalité, F. Baumgartner atteint une vitesse égale à celle du son à l'altitude z_son = 33 446 m. On donne l'évolution de la masse volumique de l'air dans la stratosphère pour des altitudes comprises entre 15 km et 50 km.

5 Comparer la norme de la force de frottement de l'air et la norme du poids àl'altitude de 33,446 km.
P = mg = 120 x9,66 ~1152 N.
f = 0,4 r_air(z) v² =0,4 x0,015 x307² ~566 N.
La norme de la force de frottement est égale à 0,49 fois le poids. Les frottements ne sont pas négligeables et le modèle de la chute libre n'est pas valide.
En raison de la force de frottement due à l'air, F. Baumgartner atteint une vitesse limite lors du saut lorsque la norme de la force de frottement est égale au poids.
6. Pour simplifier, on suppose que la vitesse limite est atteinte après 4 000 m de chute. Calculer la valeur de la vitesse limite si F. Baumgartner s'était élancé d'une altitude z = 20 000 m.
En prenant r_air ~0,17 kg m^-3, à l'altiude de16km, f = 0,4 x0,17 v²_lim = 1152 ; v_lim ~130 m /s.
v_son = 295 m /s à cette altitude.
F. Baumgartner n'atteint pas la vitesse du son dans ces conditions.
7. Expliquer pourquoi il est nécessaire de s'élancer depuis la zone supérieure de la stratosphère pour atteindre une vitesse égale à celle du son.
Dans la partie supérieure de la stratosphère, la masse volumique de l'air est très faible. Les frottements sont donc faibles et en conséquence la vitesse limite de chute peut être égale à celle du son.