Mathématiques, bac S polynésie 2020.

Exercice 1. ( 5 points ).
Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules blanches indiscernables au toucher. On extrait une boule de l'urne et on note sa couleur. On répète 4 fois l'expérience, de manière indépendante, en remettant la boule à chaque fois dans l'urne. La probabilité d'obtnir au moins une boule blanche est :
0,15 ; 0,63 ; 0,5 ; 0,85. Vrai.

P( obtenir au moins une blanche) = 1 -P( obtenir aucune boule blanche) = 1 - P( obtenir une rouge à chaque tirage)
Il y a 5 boules rouges sur un total de 8.
P( tirer une rouge) = 5 /8.
P( obtenir au moins une blanche) = 1-(5/8)⁴ ~0,85.

ou bien : soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de boule blanche. X suit une loi binomiale de paramètre n = 4 et p = 3 /8.
P(X > 1) = 1 -P(X=0)=1-(5/8)⁴ ~0,85.

2. Soitn un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un sac contient n pièces indiscernables au toucher. Ces pièces comportent toutes un côté " PILE" et un côté "FACE" sauf une qui contient deux côtés "FACE".
On choisit au hasard une pièce et on la lance. La probabilité d'obtenir le côté "FACE" est :
(n-1) / n ; (n+1) / (2n) , vrai ; 0,5 ; (n-1) / (2n).
Nombre de cas favorables : n+1.
Nombre de cas possibles : 2 n.
Probabilité d'obtenir le côté "FACE" : (n+1) / (2n).

3. On considère T la variable aléatoire suivant le loi normale d'espérance µ =60 et d'écart type s = 6. P_{(T > 60)} (T >72) est :
0,954 ; 1 ; 0,023 ; 0,046. Vrai.
P_{(T > 60)} (T >72)= P((T > 60) n P(T>72)) / P(T > 60) =P(T>72) / P(T > 60) =0,02275 / 0,5 ~0,046.

4. La durée de fonctionnement ( en années) d'un moteur jusqu'à ce que survienne la première panne est modèlisée par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre l, réel positif.
La probabilité que le moteur fonctionne sans panne plus de trois ans est :
e^-3l , vrai ; 1- e^-3l ; e^-3l ; -1 ; e^3l .
D'après le cours :P(X > t) =e^-3l.

5. On note X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; p /2]. La probabilité qu'une valeur prise par la variable aléatoire soit solution de l'inéquation cos x > 0,5 est égale à :
2 /3 vrai ; 1 /3 ; 1 /2 ; 1 /p.
cos x > 0,5 ; x appartient à :] 0 ; p / 3 ]

Exercice 2. (4 points)

Pour tout réel t, on considère le point M(1-t ; t ; t).
1. Montrer que pour tout réel t, le point M appartient à la droite (BH).
Montrer que trois points M, B et H sont alignés revient à montrer que les deux vecteurs suivants sont colinéaires.
Coordonnées des points : B(1 ; 0 ; 0) ; H (0; 1 ; 1) ; M(1-t ; t ; t)

On admet que les droites (BH) et (FC) ont respectivement pour représentation paramétrique :
x=1-t ; y =t ; z = t avec t réel.
x=1 ; y=t' ; z = 1-t' avec t' réel.
2. Montrer que ces droites sont orthogonales et non coplanaires.
Coordonnées du vecteur directeur de la droite (BH) : (-1 ; 1 ; 1).
Coordonnées du vecteur directeur de la droite (FC) : (0 ; 1 ; -1).
Le produit scalaire de ces deux vecteurs directeurs [ 0*(-1) +1*1+1*(-1)) =0) étant nul, ces deux droites sont perpendiculaires.
Si deux droites perpendiculaires sont sécantes alors elles se coupent en un point de coordonnées (x ; y ; z) telles que :
1-t = 1 soit t = 0 ; t = t' =0 ; t = 1-t' est impossible..
Donc les deux droites ne sont pas coplanaires.
3. Pour tout réel t', on considère le point M' (1 ; t' ; 1-t').
a. Montrer que pour tous réels t et t' : MM'² = 3(t-1 /3)² +2(t'-0,5)² +1 /6.
Coordonnées du vecteur MM' : [1-(1-t) ; t'-t ; 1-t'-t].
MM'² = t²+(t'-t)²+(1-t'-t)².
MM'² = t²+t'²+t²-2tt' +1+t'²+t²+2tt'-2t-2t'.
MM'² =3t²+2t'²-2t'-2t +1.
MM'² =3t²+1/3-2t +2t'²-2t'+1/2 +1/6.
MM'² =3(t²+1/9-2t/3) +2(t'²-t'+1/4)+1/6.
MM'² = 3(t-1 /3)² +2(t'-0,5)² +1 /6.
b. Pour quelles valeurs de t et t' la distance MM' est-elle minimale ? Justifier.
MM'² est la somme de trois termes positifs.
MM'² est minimale lorsque les deux premiers termes sont nuls soit t = 1 /3 et t' = 0,5.
4. On nomme P le point de coordonnées (2 /3 ; 2 /3 ; 1 /3) et Q le point de coordonnées (1 ; 0,5 ; 0,5).
Justifier que la droite (PQ) est perpendiculaires aux deux droites (BH) et (FC).