Préparer un thé, loi du refroidissement de Newton, bac SI Métropole 2021.

Etude de l'évolution de la température de l'eau d'une bouilloire après que le sispositif a coupé l'alimentation de la résistance de la bouilloire.
Evolution de la température de l'eau au cours du temps.

Le système étudié est constitué de la bouilloire et d'un litre d'eau porté, à l'instant choisi comme origine des temps, à la température T_i = 100°C. Le système est ensuite laissé en contact avec le milieu extérieur considéré comme un thermostat à la température T₀ = 20°C. La température externe de la bouilloire est supposée égale à chaque instant à la température de l'eau. On note T(t) la température du système à l'instant t. On note C la capacité thermique du système.
On modélise les transferts thermiques du système par la loi de Newton.
F = h S( T₀-T(t).
F : flux thermique convectif en W.
h : coefficient d'échange convectif en W m^-2 K^-1.
S : surface latérale de la bouilloire.
1. On souhaite effectuer le bilan d'énergie pour le système échangeant de l'énergie par un transfert thermique avec l'air extérieur entre les instant t et t+dt. On suppose que dt est petit devant la durée typique de l'évolution de la température. Etablir la relation suivante :
C(T(t + dt)-T(t)) = h S( T₀-T(t). dt.
Variation d'énergie interne du système ( énergie perdue par le système) en dt seconde :
dQ = C(T(t + dt)-T(t)).
Loi du refroidissement de Newton :
F = h S( T₀-T(t).
Energie correspondante : h S( T₀-T(t). dt.
2. Etablir l'équation différentielle vérifiée par la température T du système. Montrer qu'on peut l'écrire sous la forme :
dT /dt = a(T₀-T(t)).
Quand dt tend vers 0 : (T(t + dt)-T(t)) tend vers dT.
C dT=h S( T₀-T(t). dt.
dT / dt = hS / C ( T₀-T(t)).
On pose a = hS / C.
3. Expliquer qualitativement comment évolue la valeur absolue de la pente de la courbe représentant la température du système en fonction du temps lorsque l'eau de la bouilloire se refroidit.
dT / dt soit a ( T₀-T(t)) représente la pente de la tangente.
Or T₀-T(t) diminue, donc la pente de cette tangente diminue au cours du temps.
4. Déterminer graphiquement la durée typique 1/ a = t.

5. Indiquer en justifiant si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :
a. La durée t sera d'autant plus grande que la quantité d'eau dans la bouilloire sera faible. Faux.
t =C / (hS) .
C est d'autant plus petit que la masse d'eau est faible.
b. La durée t diminue si on place la bouilloire sur le rebord d'une fenètre en hiver ( 5°C). Vrai.
a est constant ; ( T₀-T(t)) croît.
La valeur absolue de la pente de la tangente à l'origine est plus grande.
c. La durée t diminue si la bouilloire se trouve dans une pièce fortement ventillée. Vrai.
t =C / (hS) et h augmente du fait de la ventillation.
6. Pour consommer un thé, il est recommandé de débuter l'infusion avec une eau à 90°C. On fait bouillir un litre d'eau dans une bouilloire ne disposant pas d'un système de réglage de la température.
Evaluer la durée du refroidissement du système de 100 à 90°C.