Mesures d'épaisseur : lentilles, condensateur, bac Métropole 2021.

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Une pochette plastique est constituée de deux films plastiques entre lesquels des documents paprier peuvent être rangés. Selon les fabricants, l'épaisseur e du film plastique varie de 50 µm à 120 µm.
1. Mesure optique de l'épaisseur du film plastique.
On utilise un microscope dont on donne la modélisation optique.
1.1. Construire l'image intermédiaire A1B1 de l'objet AB à travers l'objectif, puis l'image définitive A2B2 de A1B1 à travers l'oculaire.

1.2 Donner les caractéristiques de l'image définitive A2B2.
L'image est réelle et droite.
1.3 Un expérimentateur désire observer l'objet à travers le microscope sans accommoder. Dans ce cas, l'image définitive doit se situer à l'infini. Indiquer où doit se former l'image intermédiaire A1B1 pour satisafaire cette condition.
L'image intermédiaire A1B1 doit se trouver au foyer objet F2 de l'oculaire. L'image définitive A2B2 se trouve à l'infini. L'oeil observe alors sans accommoder.
On trace un trait de chaque côté du film plastique et on le pose sur le microscope.
On fait successivement la mise au point sur chaque trait tracé sur le morceau de film en tournant une vis micrométrique. On photographie la vis micrométrique. Le constructeur indique qu'un déplacement de la vis entre la graduation zéro et la graduation 10 correspond à un déplacement de 20 µm.

1.4 Déterminer la valeur de l'épaisseur e du film plastique sachant que le déplacement de la vis micrométrique entre ces deux mises au point est e / n. Commenter.
150-128 = 22 graduations soit 22  x 20 / 10 = 44 µm.
Indice de réfraction du film plastique n = 1,49.
e / 1,49 = 44 ; e = 44 x1,49 ~66 µm.
Cela correspond à l'indication du constructeur [50 ; 120 µm
].

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Mesure capacitive de l'épaisseur du film.
On réalise un condensateur à l'aide de deux feuilles d'aluminium identiques de dimensions 20 cm x 20 cm entre lesquelles la pochette plastique est intercalée. Le tout est maintenu serré. Ce condensateur est utilisé dans le montage électrique ci-dessous.
Il comprend un générateur considéré comme une source de  tension idéale qui fournit une tension E, d'un conducteur ohmique de  résistance variable R et du condensateur réalisé de capacité C.

Un système d'acquisition permet d'ennregistrer l'évolution de la tension Uc aux bornes du condensateur au cours du temps. A la date t=0, on ferme l'interrupteur. le condensateur est initialement déchargé.

2.1. Etablir l'équation diférentielle vérifiée par la tension Uc aux bornes du condensateur.
Additivité des tensions : E = Ri + Uc.
i =  dQ / dt = C dUc/dt.
E = RC
dUc/dt + Uc.
2.2. La solution générale de cette équation est Uc(t) = A e-t /t +B. Déterminer l'expression des constantes A, B et t en fonction de E, R et C.
A t=0 : Uc(0) = 0 soit A +B = 0.
A t suffisamment grand : Uc(t) = E ;
e-t /t =0 et B = E ; par suite A = -E.
On dérive : dUc(t) / dt = -A / t
e-t /t = Et e-t /t .
Repport dans l'équation différentielle :
E = RC
E / t e-t /t - E e-t /t +E.
RC / t  = 1 ; t = RC.
Uc(t) = -E e-t /t +E = E (1-e-t /t ).
2.3. Déterminer graphiquement B et t.
L'asymptote horizontale a pour équation Uc = E.
Tracer la tangente à l'origine, elle coupe l'asymptote horizontale à t = t.
A t = t, Uc = 0,63  e = 0,63 x 6 =3,8 V.
t = 6 10-5 s.
2.4. Déterminer la capacité C du condensateur.
RC =
6 10-5 avec R =1,0 104 ohms.
C = 6 10-5 / 10-4= 6 10-9 F.

2.5. En déduire l'épaisseur e du film et commenter.
C = 1,95 10-11 S / (2e).
S = 0,2 x0,2 = 0,04 m2.
2e = 1,95 10-11 x0,04 / (6 10-9) =1,3 10-4 m.
e =6,5 10-5 m = 65 µm.
En accord avec la mesure réalisée au microscope.
Cela correspond à l'indication du constructeur [50 ; 120 µm].



  
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