La congelation de l'eau, bac Centres étrangers 2021.

On souhaite estimer la duurée nécessaire pour que toute l'eau d'un bac à glaçon placé dans un congelateur soit transformée en glace. L'eau est initialement à température ambiante.
On distingue deux phases :
refroidissement de l'eau de la température ambiante T_a à celle de solidification T_s ;
phase a : changement d'état de l'eau à la température T_s= 0°C.
phase b : le système étudié est l'eau placée danns le bac à glaçons.
Masse de l'eau m = 0,150 kg ; Ta = 23,0°C. C_eau = 4185 J kg^-1 K^-1.
1. Préciser dans quel sens se font les transferts thermiques entre l'eau et l'air du congelateur. En déduire le signe de l'énergie échangée lors du transfert thermique Q entre le système et l'air du congelateur.
L'eau, le corps chaud, cède de l'énergie au corps froid, l'air du congelateur : Q < 0.
2. Indiquer si le changement d'état de l'eau est endothermique ou exothermique ( phase b).
La solidification de l'eau est exothermique, l'eau cède de l'énergie à l'air du congelateur.
3. Donner l'expression de la variation de l'énergie interne de l'eau lors de la phase a.
DU = Q = m C_eau( T_s-T_a).
Première estimation de la durée de congelation à l'aide de la puissance du dispositif de refroidissement du congelateur.
L'énergie prélevée par unité de temps à l'eau est égale à la puissance du dispositif de refroidissement du congélateur soit 40 W.
4. Montrer que Q = -14,4 kJ.
Q = 0,150x 4185( 0-23) = -1,44 10⁴ J = -14,4 kJ.
5. Estimer la durée nécessaire pour que cette énergie soit prélevée par le dispositif de refroidissement.
Dt = |Q| / P = 1,44 10⁴ / 40=361 s ~ 6 minutes.
La durée nécessaire pour que toute l'eau soit transformée en glace est d'environ 21 minutes.
Or la réalisation de l'expérience fait apparaître une durée nécessaire pour la congelation complète de l'eau de l'ordre d'une heure. Pour expliquer cet écart, on envisage un autre modèle.

Loi de phénoménologique de Newton.
L'intérieur du congelateur joue le rôle de thermostat, sa température T_th reste constante.
Loi liant le flux thermique échangé F ( en W) à l'écart de température entre l'air ( T_th) et le système (T) et à la surface d'échange S.
F = -hS(T-T_th).
Durant la phase a, T n'est pas constante. Il convient de modéliser son évolution temporelle.
T_th= -18°C ; hS = 0,92 W K^-1.
6. La loi de Newton permet d'estimer les valeurs du flux thermique entre l'eau et l'air au début ( T=T_a) et à la fin ( T = T_S de la phase de refroidissement.
F(T_a) = -38 W ; F(T_s) = -17 W.
Comparer ces valeurs à la puissance du système de refroidissement.
Discuter ce qu'apporte ce modèle par rapport à celui utilisé lors de la première estimation.
La loi de refroidissement de Newton indique que le flux thermique est proportionnel à la différence de température entre l'eau et l'air du congelateur. Ce flux thermique diminue au cours du refroidissement.
7. Donner l'expression reliant l'énergie échangée sous forme de transfert thermique Q entre l'air et l'eau pendant une durée Dt très petite, le flux thermique F supposée constant durant cette durée, et la durée Dt.
Q = F Dt.
8. A l'aide du premier principe de la thermodynamique et de la loi de Newton, dans le cas où Dt tend vers zéro, montrer que l'évolution temporelle de la température de l'eau est régie par :
dT / dt = -r (T-T_th)
Exprimer r en fonction de h, S, m et C_eau, préciser sa valeur et son unité.
Premier principe : la variation de l'énergie interne de l'eau est égale à l'énergie cédée à l'air.
dU = dQ = m C_eau dT.
Flux thermique correspondant :
dQ = m C_eau dT / dt.
Loi de refroidissement de newton : F = -hS(T-T_th).
m C_eaudT /dt = -hS(T-T_th).
dT /dt = -hS / (mC_eau)(T-T_th).
r = hS / (mC_eau).
r = 0,92 /(0,15 x4185)~1,46 10^-3 s^-1.
La solution de cette équation différentielle est : T(t) = (T_a-T_th)e^-rt + T_th.
9. Déduire de ce modèle, une estimation de la durée nécessaire pour refroidir l'eau liquide lors de la phase a. Conclure.
0 = (23-(-18))exp(-1,46 10^-3 t) -18.
0=41 exp(-1,46 10^-3 t) -18.
18 / 41 = exp(-1,46 10^-3 t).
ln(18/41) = -1,46 10^-3 t.
t ~564 s soit environ 9,4 minutes.
Durée totale de la congelation de l'eau : 30 minutes, on est encore loin de la valeur expérimentale.