Mathématiques, fonctions, suite, géométrie, bac Centres étrangers 2021.

Exercice 1, QCM ( 5 points).
Question 1.
Soit la fonction g définie sur ] 0 ; +oo[ par : g(x) = x²+2x-3 / x.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 1 est :
y = 7(x-1) vrai.; y = x-1 ; y =7x+7 ; y = x+1.
Dérivée g'(x) = 2x+2+3/x².
Coefficient directeur de la tangente : g'(1) =7.
Le point de coordonnée (1 ; g(1) =0 appartient à la tangente.
Equation cherchée : y = 7x+b ;
0 = 7 +b ; b = -7.

Question 2.
On considère la suite (v_n) par v_n = 3n /(n+2). La limite de cette suite en plus l'infini est :
1 ; 3 vrai ; 1,5 ; on ne peut pas la déterminer.
Mettre n en facteur commun au dénominateur et au numérateur.
3n / (n(1+2 / n).
Simplifier par n : 3 /(1+2 / n).
2 / n tend vers zéro quand n tend vers plus l'infini et v_n tend vers 3.

Question 3.
Une urne contient 6 boules noires et 4 boules rouges. On effectue successivement 10 tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité d'avoir 4 boules noires et 6 boules rouges ?
0,1662 : 0,4 ; 0,1115 vrai ; 0,8886.
Soit l'événement " on tire une boule rouge", de probabilité 0,4.
Soit X la variable aléatoire associée au nombre de boules rouges tirées.
X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 ; p = 0,4.
P(X = 6) = 0,1115.

Question 4. On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 3e^x-x.
La limite de f en plus l'infini est :
3 ; +oo vrai ; -oo ; on ne peut pas déterminer cette limite.
f(x) = e^x(1-x / e^x).
Par croissance comparée, x / e^x tend vers zéro si x tend vers plus l'infini.

Question 5.
Un code inconnu est constitué de 8 signes. Chaque signe peut être une lettre ou un chifftre. Il y a donc 36 signes utilisables pour chacune des positions. Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde.
En combien de temps maximum ce logiciel peut-il découvrir ce code ?
0,3 s ; 8 heures vrai ; environ 3 heures ; environ 470 heures.
36⁸ / 10⁸ =2,8 10⁴ s soit environ 8 heures.

Exercice 2. 5 points.
Au premier janvier 2020, la centrale solaire Big Sun possédait 10560 pannneaux solaires. On observe chaque année, que 2 % des panneaux se sont détériorés et nécessitent d'être retirés tandis que 250 nouveaux panneaux solaires sont installés.
On modélise l'évolution du nombre de panneaux solaires par la suite (u_n) définie par u₀ = 10560 et u_n+1 =0,98 u_n +250.
1.a. Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
Chaque année, 2 % des panneaux sont retirés: sur 100 panneaux, il en reste 98.
On installe de plus 250 nouveaux panneaux par an.
b. On souhaite savoir au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à 12 000. Donner la réponse à ce problème à l'aide de la calulatrice.
La calculatrice donne n = 68. ( 1er janvier 2088 ).
c. Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable n à l'issue de l'exécution de ce dernier.
u = 10560
n=0
while u < 12000 :
u = u*0,98 +250
n = n+1.
2. Démontrer par récurrence que u_n < 12500.
Initialisation : u₀ = 10560 ; la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est supposée vraie au rang n : u_n < 12500.
u_n+1 = 0,98 u_n +250.
u_n+1 < 0,98 *12500 +250 ; u_n+1 < 12500.
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout n.
3. Démontrer que cette suite est croissante.
u_n+1 -u_n=0,98 u_n +250 -u_n =250 -0,02 u_n.
un < 12500 ; 0,02 u_n < 12500 x0,02 ; u_n < 250
250 -0,02 u_n > 0.
u_n+1 -u_n>0 , la suite est croissante.
4. En déduire que cette suite converge, sans calculer sa limite.
La suite est croissante et majorée, donc elle converge.
5. On définit la suite (v_n) par v_n = u_n -12500.
a. Démontrer que (v_n) est géométrique de raison 0,98 dont on déterminera le premier terme.
v_n+1 = u_n+1 -12500.
u_n+1 =0,98 u_n +250.
v_n+1 = 0,98 u_n-12500 +250 = 0,98 u_n -12250.
v_n+1 =0,98 (u_n-12500) =0,98 v_n.
v₀ = u₀-12500 =10 560-12 500= -1940.
b. Exprimer v_n en fonction de n.
v_n = -1940 x 0,98ⁿ.
c. En déduire u_n en fonction de n.
u_n = v_n +12500 =12500-1940 x0,98ⁿ.
d. Déterminer la limite de la suite (u_n) et interpréter.
-1 < 0,98 < 1, donc 0,98ⁿ tend vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
La suite (u_n) tend vers 12500.
Au bout d'un temps suffisamment long, le nombre de panneaux sera égal à 12500.

Modélisation à l'aide d'une fonction.
Le nombre de panneaux solaires peut être estimé par la fonction f définie sur [0 ; +oo[ par f(x) = 12500-500e^-0,02x+1,4 où x représente le nombre d'années écoulées depuis le 1er janvier 2020.
1. Etudier le sens de variation de cette fonction.
f '(x) = -500 x(-0,02) e^-0,02x+1,4 = 10e^-0,02x+1,4 .
f '(x) est strictement positive ; la fonction f(x) est strictement croissante.
2. Déterminer la limite de la fonction f en plus l'infini.
Le terme en exponentielle tend vers zéro et f(x) tend vers 12500.
3. Avec ce modèle, au bout de combien d'années le nombre de panneaux solaires dépassera 12000.
12500-500e^-0,02x+1,4 =12 000.
500 = 500e^-0,02x+1,4 ; 1 = e^-0,02x+1,4 ; ln(1 ) =-0,02x+1,4.
0 = -0,02x+1,4 : x = 1,4 / 0,02 =70.