Mathématiques, suite,géométrie,probabilités, bac Polynésie 2021.

Suites.
En 2020, une influenceuse sur les réseaux sociaux compte 1 000 abonnés à son profil. On modélise le nombre d’abonnés ainsi : chaque année, elle perd 10% de ses abonnés auxquels s’ajoutent 250 nouveaux abonnés.
Pour tout entier naturel n, on note u_n le nombre d’abonnés à son profil en l’année (2020+n), suivant cette modélisation. Ainsi u₀ =1000.
1. Calculer u₁.
u₁=0,90 u₀+250 = 0,9 x1000 +250 =1150.
2. Justifier que pour tout entier naturel n, u_n+1 = 0,9u_n +250.
Chaque année, elle perd 10% de ses abonnés soit 0,9 x u_{n ;}
auxquels s’ajoutent 250 nouveaux abonnés soit 0,9u_n +250.
3. La fonction Python nommée « suite » est définie ci-dessous. Dans le contexte de l’exercice, interpréter la valeur renvoyée par suite(10).
def suite( n) :
u = 1 000
for i in range(n) :
u = 0,9*u + 250
return u.
Il s'agit du nombre d'abonnés en l'an 2020+10 = 2030.
4. a. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, u_n < 2500.
Initialisation : u₀ = 1000 < 2500, la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est vraie au rang n.
u_n < 2500.
Démontrons qu'elle est vraie au rang n+1 :
0,9 u_n < 0,9 x2500 ; 0,9 u_n < 2250 ; 0,9 u_n +250 < 2250 +250 ; 0,9 u_n +250 < 2500 ; u_n+1 < 2500.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier n.
b. Démontrer que la suite (u_n) est croissante.
u_n+1-u_n = 0,9u_n +250- u_n = -0,1 u_n +250.
-0,1 u_n +250 > -0,1 x2500 +250 =0.
u_n+1-u_n > 0 ; u_n+1 > u_n . La suite est croissante.
c. Déduire des questions précédentes que la suite (un) est convergente.
La suite est croissante et bornée, donc elle converge.
5. Soit (v_n) la suite définie par v_n = u_n −2500 pour tout entier naturel n.
a. Montrer que la suite (v_n) est une suite géométrique de raison 0,9 et de terme initial v₀ = −1500.
v_n+1 = u_n+1 −2500 =0,9u_n +250 -2500 = 0,9(u_n-2500) = 0,9 v_n.
v₀ =u₀-2500 =1000 -2500 = -1500.
b. Pour tout entier naturel n, exprimer v_n en fonction de n et montrer que : u_n = −1500×0,9ⁿ +2500.
v_n = v₀ x0,9ⁿ = -1500 x0,9ⁿ.
u_n = v_n +2500 =−1500×0,9ⁿ +2500.
c. Déterminer la limite de la suite (u_n) et interpréter dans le contexte de l’exercice.
-1 < 0,9 < 1 ; 0,9ⁿ tend vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
u_n tend vers 2500.
Au bout d'un grand nombre d'années, le nombre d'abonnés est égal à 2500.
6. Écrire un programme qui permet de déterminer en quelle année le nombre d’abonnés dépassera 2 200.
Déterminer cette année.
u =1000
n =0
while u < 2200
u = 0,9 *u+250.
n = n+1
Fin tant que
return n
−1500×0,9ⁿ +2500 > 2200 ;
−1500×0,9ⁿ > -300 ;
1500×0,9ⁿ < 300 ;
0,9ⁿ < 0,2 ;
n ln(0,9) < ln(0,2) ;
n < ln(0,2) / ln(0,9) ;
n > 15,27 soit 16. ( année 2020 +16 = 2036).

Géométrie.
On considère un cube ABCDEFGH d’arête 8 cm et de centre W.

Partie I.
1. Dans ce repère, on admet que les coordonnées du point R sont (8; 2; 8).
Donner les coordonnées des points P et Q.

2. Montrer que le vecteur n de coordonnées (1 ; −5 ; 1) est un vecteur normal au plan (PQR).

3. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (PQR) est x −5y +z −6 =0.
Le vecteur n de coordonnées (1 ; −5 ; 1) est un vecteur normal au plan (PQR).
Equation cartésienne de ce plan : x-5y+z+d=0.
P(6 ; 0 ; 0) appartient à ce plan : 6+d = 0 doit d = -6.
Equation cartésienne du plan (PQR) est x −5y +z −6 =0.

Partie II.
On note L le projeté orthogonal du point W sur le plan (PQR).
1. Justifier que les coordonnées du point W sont (4; 4; 4).
W est le centre du cube de côté 8 cm et le sommet A est l'origine du repère.
2. Donner une représentation paramétrique de la droite d perpendiculaire au plan (PQR) et passant par W.
Le vecteur n de coordonnées (1 ; −5 ; 1) est un vecteur directeur de la droite (d) et le centre du cube appartient à cette droite.
Equation paramétrique de cette droite :
x = t +x_W ; y = -5t +y_W ; z = t +z_W avec t réel.
x = t+4 ; y = -5t+4 ; z = t+4.
3. Montrer que les coordonnées du point L sont ( 14 / 3 ; 2 / 3 ; 14 / 3).

L appartient au plan (PQR) d'équation cartésienne x −5y +z −6 =0.
x-5(24-5x)+x-6 = 0 soit x = 126 / 27= 14 /3.
y = 24-5 *14/3 =24-70 / 3 = (72-70) / 3 = 2 /3.
4. Calculer la distance du point W au plan (PQR).
LW² =(4-14 / 3)² +(4-2 / 3)² +(4-14 / 3)² )=(-2 / 3)² +(10 / 3)² +(-2 / 3)² )=108 / 9 = 12.
LW =2 *3^½.