Mathématiques, bac S Antilles 2020.

Exercice 1. 6 points.
Partie A.
Louise se rend au travail avec sa voiture. Sa collègue Zoé ne possède pas de voiture. Chaque matin, Louise propose à Zoé de l'emmener. Quelle que soit la réponse de Zoé, Louise lui propose de la ramener le soir.
La probabilité que Louise emmène Zoé le matin est 0,55.
Si Louise a emmené Zoé le matin, la probabilité qu'elle la ramène le soir est 0,7.
Si Louise n'a pas emmené Zoé le matin, la probabilité qu'elle la ramène le soir est 0,24.
On note M et S les événements suivants :
M : "Louise emmène Zoé le matin".
S: " Louise ramène Zoé le soir".
1. Construire un arbre pondéré traduisant la situation.

2. Calculer P(M n S) et traduire ce résultat par une phrase.
P(M n S) =0,55 x 0,7 =0,385.
La probabilité que Louise emmène Zoé matin et soir est égale à 0,385.
3. Démontrer que la probabilité de l'événement S est égale à 0,493.
Formule des probabilité totale.
p(S) = 0,385 +0,108 = 0,493
4. On sait que Louise a ramené Zoé le soir. Quelle est la probabilité qu'elle ait emmenée le matin ?
P_S(M) =P(S n M) / P(S) =0,385 / 0,493 =0,781.

Partie B..
Le temps de trajet de Louise, en minute, entre son domicile et son travail, peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance 28 et d'écart-type 5.
1. Calculer P(X < 25).
P(X < 25) = 0,274.
2. Calculer la probabilité que le temps du trajet soit compris entre 18 et 38 minutes.
P(X < 38) = 0,977 ; P(X < 18) = 0,023 ; P(18 < X < 38) = 0,977 -0,023 =0,954.
3. Déterminer la durée du trajet, arrondie à la minute, telle que P(X > d)=0,1.
P(X < d) = 0,9. La calculatrice donne d ~ 34

4. Louise a maintenant trouvé un itinéraire plus rapide. Le temps du trajet peut être modélisé par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance 26 et d'écart-type s. On sait que P(Y > 30) =0,1. Calculer s.
P(Y < 30) =0,9.
s = 3,12.

Partie C.
L'entreprise de Louise indique que 35 % des salariés pratiquent le covoiturage. Un sondage effectué au sein de l'entreprise montre que sur 254 salariés choisis au hasarsd, 82 pratiquent le covoiturage. Ce sondage remet-il en cause l'information de l'entreprise ?
n = 254 ; p = 0,35 ; [ p(1-p) / n ]^½= (0,35 x0,65 / 254)^½ =0,02993.
1,96 x[ p(1-p) / n ]^½=1,96 x0,02993 ~0,05866.
0,35 -0,05866 ~0,291 ; 0,35 +0,05866 ~0,409.
Intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % : [0,291 ; 0,409 ].
Fréquence observée 82 / 254 = 0,323.
La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation. Au risque de 5 %, nn ne peut pas mettre en doute l'affirmation de l'entreprise.

Exercice 2. 6 points.
Partie A.
La fonction g est définie sur [0 ; + oo[ par : g(x) = 1-e^-x.
1. déterminer la lilite de cette fonction en plus l'infini.
Quand x tend vers plus l'infini e^-x tend vers zéro et la fonction g tend vers 1.
2. Etudier les variations de la fonction g et dresser son tableau de variations.
g'(x)= e^-x, positive ; g est strictement croissante sur [0 ; + oo[

Partie B.
On considère la fonction f définie sur R par f(x) =(x-1)e^-kx +1 avec k réel strictement positif.
On a représenté la courbe C pour une certaine valeur de k.

1.a Démontrer que f '(x) = e^-kx(-kx+k+1).
On pose u = x-1 et v = e^-kx ; u' = 1 ; v' = -ke^-kx.
u'v +v'u = e^-kx-ke^-kx(x-1) =e^-kx(-kx+k+1).
b. Démontrer que l'ordonnée du point B est égale à g(k) ou g est la fonction définie dans la partie A.
Coefficient directeur de la tangente à la courbe C en A :
f '(1) =e^-k((-k+k+1) = e^-k.
Equation de cette tangente : y = e^-k x+b.
A (1 ; f(1)=1 ) appartient à la tangente.
1 = e^-k +b ; b =1-e^-k.
y = e^-k x +1-e^-k.
B( 0 ; y_B) appartient à cette tangente.
y_B = 1-e^-k= g(k).
2. Démontrer que le point B appartient au segment [OJ].
y_J = 1 ; de plus g(x) est strictement inférieur à1.
y_B = g(k) < 1 ; B appartient au segment [OJ].

Partie C.
On considère la fonction h définie sur R par : h(x) = (x-1)e^-2x+1.
On note C_h la courbe représentative de la fonction h et d la droite d'équation y = x.
On admet que la droite d est au dessous de C_h sur [0 ; 1 ].
Soit D le domaine du plan délimité par la courbe C_h, la droite d et les droites d'équations x=0 et x = 1. Soit A l'aire de D exprimée en unité d'aire
1. Hachurer le domaine D et démontrer que

Aire hachurée = aire du domaine comprise entre la courbe C_h, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=1, diminiuée de l'aire du triangle OAI soit 0,5.

2.a. Démontrer que pour tout x réel, h(x)-x=(1-x)(1-e^-2x).
(x-1)e^-2x+1-x=(1-x) ( 1-e^-2x).
b. On admet que, pour tout réel x, e^-2x > 1-2x.
Démontrer que, pour tout réel x de [0 ; 1 ], h(x)-x < 2x-2x².
-e^-2x < 2x -1 ;1 -e^-2x < 2x ;
(1-x) ( 1-e^-2x) < 2x(1-x) ; (1-x) ( 1-e^-2x) < 2x-2x².
c. En déduire que A < 1 /3.

3. Soit H la fonction définie sur [0 ; 1] par H(x) = 0,25(1-2x)e^-2x+x.
On admet que H est une primitive de h sur [0 ; 1 ]. Déterminer la valeur exacte de A.
A =H(1)-H(0) -0,5.
H(1)=0,25 (-e^-2)+ 1 ; H(0)= 0,25 ;
A = -0,25 e^-2+ 1-0,25 - 0,5 = -0,25e^-2+0,25.