Sciences physique, Concours ingénieur territorial 2019.

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1- Isolation thermique (3 points )
Dans le cadre de la rénovation de sa piscine (composée d’un grand bassin et d’un bassin ludique ainsi que d’un ensemble de douches, entre autres), une collectivité décide de se mettre en accord avec la réglementation thermique RT 2020 des bâtiments à énergie positive. Les normes de la RT 2020 sont très précises :
- consommation de chauffage n’excédant pas 12 kWhep par m2 et par an, grâce à une isolation performante, une ventilation efficace et une conception bioclimatique satisfaisante ;
- consommation totale d’énergie primaire (c’est-à-dire le chauffage, l’eau chaude sanitaire, l’éclairage et les appareils électriques) inférieure à 100 kWh par m2 et par an ;
- production d’énergie renouvelable couvrant les besoins énergétiques de la structure (bilan passif) ou les surpassant (bilan positif).
Initialement, un mur de béton, sans ouverture (coté nord) séparait deux milieux. La température du milieu intérieur est de 20 °C. La température du milieu extérieur est de -10°C.
Pour renforcer thermiquement cette paroi, on est amené à placer des matériaux isolants, côté intérieur ou côté extérieur. L’objectif de cette partie est de choisir la meilleure solution.
-cas n°1 : isolation intérieure :
De l'intérieur vers l'extérieur les matériaux sont les suivants :
- plâtre cartonné hydrofuge d'épaisseur 1 cm et de conductivité thermique égale à 0,70 W.m-1.K-1.
- polystyrène d'épaisseur 5 cm et de conductivité thermique égale à 0,036 W.m-1.K-1.
- béton d'épaisseur 20 cm et de conductivité thermique égale à 1,4 W.m-1.K-1.
-cas n°2 : isolation extérieure :
De l'intérieur vers l'extérieur les matériaux sont les suivants :
- béton d'épaisseur 20 cm et de conductivité thermique égale à 1,4 W.m-1.K-1.
- polystyrène d'épaisseur 5 cm et de conductivité thermique égale à 0,036 W.m-1.K-1.
- enduit ciment projeté de 1,5 cm d'épaisseur et de conductivité thermique égale à 1,15 W.m-1.K-1.
1- Calculer la résistance thermique de chaque type d’isolation et le coefficient de transmission thermique.
On donne : - résistance superficielle interne : 0,11 m2 .K.W-1.
- résistance superficielle externe 0,06 m2 .K.W-1.
Vous dresserez les résultats obtenus dans un tableau.
Résistance termique de la paroi composite = ri + S ei /li+ re ;
Ri = ri + e1 /l1+e2 /l2 +e3 /l3 + re ;
Re = ri + e4 /l4+e2 /l2 +e3 /l3 + re ;
Ri = 0,11 + 0,01/0,7 + 0,05 / 0,036 + 0,2 / 1,4 + 0,06 = 0,11 + 0,0143 + 1,389 + 0,143 + 0,06 =1,716 m² K W-1.
Re = 0,11 + 0,015/1,15 + 0,05 / 0,036 + 0,2 / 1,4 + 0,06 = 0,11 + 0,013 + 1,389 + 0,143 + 0,06 =1,715 m² K W-1.
coefficient de transmission de chaque paroi :
Ki = 1/Ri = 1/1,716 = 0,58 W m-2K-1 ; Ke = 1/Re = 1/1,715 = 0,58 W m-2 K-1;
Flux ttermique à travers la paroi.
Fi = Ki (qi-qe) = 0,58*(20-(-10))= 0,58*30 = 17,4 W m-2. Fe= Ke (qi-qe) = 0,583*(20-(-10))= 0,58*30 = 17,4 W m-2.
2- Calculer les températures des différentes faces du mur et de son isolation dans les deux cas.
q si la température de la surface intérieure :
Fi = 1 / ri ( q i - q si ) = 1 / 0,11( 20- q si )= 9,09 ( 20- q si ) ; 20- q si= 17,4 / 9,09 = 1,914 ; q si~ 18,1 °C.
q se la température de la surface extérieure :
Fe = 1 / re ( q se - q e ) = 1 / 0,06(  q se -(-10))= 16,67 (  q se +10) ;  q se+10= 17,4 / 16,67 = 1,044 ; q se~ -9 °C.
3- En analysant les résultats précédents, quelles constatations pouvez-vous faire et quel type d'isolation
convient le mieux pour répondre aux objectifs suivants ? : (0,5 point)
- Amélioration de l’inertie thermique.
- Diminution des risques de condensation dans le mur en béton.
L'isolation par l'extérieur est à privilégier : peu de pont thermique ; pas de perte d'espace à l'intérieur.
La facade est préserver des intempéries.

Le prix moyen du kW.h est estimé à 0,13 € HT. La façade est assimilée à un trapèze de 35 m de long sur deux hauteurs de 15 m et 10 m. Il y a deux façades à rénover. Selon l’Agence nationale de l’habitat, (ANAH) le coût moyen des travaux d’isolation extérieure pour les murs est compris entre 40 et 80 euros HT par m² fourniture et pose comprises. On se placera dans la fourchette
moyenne. On considère une période hivernale allant du 1er décembre au 28 février.
4- Calculer :
4-1 les déperditions thermiques (en W) (0,125 point).
Surface des deux façades: S = 2 x(15 +10) x35 / 2=875 m2.
Déperditions thermiques avec isolation : 875 x 17,4~15,2 kW.
Déperditions thermiques sans isolation :
R = 0,11 + 0,2 / 1,4 + 0,06 ~0,31 m² K W-1.
Flux thermique surfacique :1 / 0,31 (20-(-10)) ~97 W m-2.
Flux thermique à travers les deux façades : 97 x 875 ~84 kW.
Gain du fait de l'isolation : 84-15,2 ~69 kW.

4-2 l’énergie perdue pour la période considérée et le coût (HT) de celle-ci. (0,125 point)
3 mois soit environ 3 x30 = 90 jours ou 90 x24 =2160 heures.
Avec isolation : 15,2 x 2160 ~3,28 104 kWh.
Coût : 3,28 104 x0,13 ~4,26 103 € HT.
Sans isolation : 84 x 2160 ~1,8 105 kWh.
Coût : 1,8 105 x0,13 ~2,36 104 € HT.
Economie réalisée : 1,9 104 €.
 5- Conclure sur le choix de l’isolation au regard du critère économique, c'est-à-dire sur la rentabilité d’une telle rénovation. (0,25 point)
Coût des travaux : 60 x875 ~5,25 104 € HT.
L'isolation est amortie en moins de 4 ans.

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Jets hydrauliques ( 4 points).
L’objectif de cette partie est de dimensionner la pompe hydraulique 2 permettant de réacheminer l’eau d’un bassin (ludique) à un autre (grand bassin) suite aux 3 jets d’eau réalisés sur le petit bassin ludique.
Les 3 jets d’eau atteignent des hauteurs différentes (h1=9 m, h2=5 m et h3=3 m) et sont considérés comme parfaitement verticaux (pour simplifier nos calculs). L’ensemble est alimenté par une électropompe 1 triphasée branchée sur le réseau (400V-50Hz), de facteur de puissance 0,85 et de
rendement optimal 88%. On considère un fonctionnement en ce point nominal et l’intensité du courant absorbé par cette électropompe est de 15 A. Elle fournit une pression de 5 bars. On néglige les pertes de charge et les frottements sur toute la canalisation (canalisations 1 et 2). On
néglige la résistance de l’air. La canalisation ainsi que les 3 buses ont une forme parfaitement cylindrique.

1- Calculer les 3 vitesses à la base des buses : V1, V2 et V3 (0,75 point).
Th de l'énergie cinétique entre la base et le sommet d'un jet.
0 -½mv2 = travail du poids = -mgh ; v = (2gh)½.
v1 = (2 x9,81 x9)½ ~13,3 m /s.
v2 = (2 x9,81 x5)½ ~9,9 m /s.
v1 = (2 x9,81 x3)½ ~7,67 m /s.
2- Calculer le débit volumique (supposé constant) de la pompe en L/mn (litres par minute) (0,75 point).
Puissance active : P = 3½UI cos F =3½ x400 x 15 x 0,85 =8,83 103 W.
Puissance utile : 8,83 103 x 0,88 =7,77 103 W.
Débit volumique Qv = Puissance utile / pression = 7,77 103 / (5 x 105) =0,0155 m3 s-1 = 15,5 Ls-1ou 15,5 x60 =930 L / min.
3- En déduire le diamètre des buses que l’on considèrera comme identiques. (0,75 point)
 Conservation du débit volumique : Qv =pDb2 /4 v1 +pDb2 /4 v2 +pDb2 /4 v3 ;
Db=2(Qv / ( p(v1+v2+v3))½ =2 x (0,0155 / (3,14(13,3 +9,9 +7,67))½~0,025 m.
L’eau du bassin ludique est ensuite renvoyée vers le grand bassin par l’intermédiaire d’une électropompe 2 hydraulique (eau en circuit fermé) dont le débit est imposé par les contraintes de fonctionnement à : Qe = 1.5 L/s.

4- En prenant le point D à la surface de l’eau le plus défavorable, c'est-à-dire avec un bassin ludique presque vide, et le point E en sortie de la canalisation de retour (à l’air libre), calculer les vitesses en entrée et en sortie de la canalisation de retour en supposant un débit constant et
conservé et un diamètre constant sur toute sa longueur. (0,75 point).
La vitesse à la surface de l'eau est voisine de zéro. La surface du bassin étant grande devant la section de la canalisation.
vitesse = débit / section de la canalisation = 1,5 10-3 /(3,14 x0,0252) ~0,76 m / s.
5- Calculer alors la puissance de la pompe nécessaire pour acheminer l’eau jusqu’au grand bassin en prenant en compte les pertes de charges totales J du circuit hydraulique (canalisation de retour) que l'on prend égales à 3 J.kg-1. (1 point)
PE = PD = Patm ; zE -zD = 8 m ; vE =0 ;  vD =0,76 m /s.
Relation de Bernoulli entre les points D et E.
r (VE2 -VD2 ) / 2 +rg(zE-zD) +pE-pD = P / qv -perte de charge.
r VD2 / 2 + rg(zE-zD) =P / qv -perte de charge.
Perte de charge = 3 x 1000 = 3000 Pa.
1000 x 0,762 / 2 +1000 x9,81 x 8 = P / (1,5 10-3) -3000 ;
P=81 768 x1,5 10-3=123 W.
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 Thermodynamique. ( 3 points)
Dans le cadre de la RT 2020, la collectivité opte pour l' installation d’une PAC (Pompe à Chaleur) pour le chauffage de l’eau chaude sanitaire (ECS) pour les douches de cette piscine. Cette PAC fonctionne entre deux sources de chaleur : une rivière qui constitue la source froide et l’eau du circuit de chauffage qui constitue la source chaude.
Le fluide utilisé dans cette PAC sera de l’air assimilé à un gaz parfait (constante R=8,32 J/(K.mol ), capacité thermique molaire à pression constante Cp=29,1 J/(K.mol) ; rapport des capacités thermiques molaires à pression constante Cp et à volume constant Cv : g = Cp/Cv = 1,35).
Le fluide de la PAC décrit le cycle de transformations réversibles suivant :
-Passage de l’état 1 à l’état 2 par une compression adiabatique dans un compresseur :
Etat 1 : pression P1=1,1.105 Pa volume V1 température T1=297K
Etat 2 : pression P2=2,3.105 Pa volume V2 température T2
-Passage de l’état 2 à l’état 3 par une transformation isobare pendant laquelle l’air reçoit de la source chaude une quantité de chaleur Q1 :
Etat 3 : pression P3 = P2 température T 3=342K
-Passage de l’état 3 à l’état 4 par une détente adiabatique :
Etat 4 : pression P4 = P1 température T4
-Passage de l’état 4 à l’état 1 par une transformation isobare pendant laquelle l’air reçoit de la source froide une quantité de chaleur Q2.
On effectuera les calculs pour une mole d’air.
1- Construire le diagramme de P,V (ou diagramme de Clapeyron), sans échelle particulière. Avons-nous affaire à un cycle moteur ou résistant ? (justifier graphiquement votre réponse). (0,25 point).


2- Calculer les volumes V1 et V2. (0,5 point)
Loi des gaz parfaits ( pour une mole ) :
 V1 = RT1 / P1 =8,32 *297 / (1,1 105 ) =2,246 10-2 ~2,25 10-2 m3.
Pour une transformation réversible adiabatique :
P1V1g = P2V2g  ; V2 = V1(P1/P2) 1/g  =2,25 10-2 (1,1 / 2,3)1 / 1,35 ~1,3 10-2 m3.
3- Calculer les températures T2 et T4. (1 point).
Loi des gaz parfaits ( pour une mole ) :
 T2 = P2V2 / R =2,3 105 *1,3 10-2 / 8,32=359,37  ~359 K.
On pose ß = (1-g) / g = -0,35 / 1,35 = -0,26.
Pour une transformation réversible adiabatique :
P3ß T3 =  P4ß T4  ;  T4  =(P3 / P4)ß T3 =(2,3 / 1,1)-0,26 *342 =282,32~282 K.
4- Pour chaque cycle décrit par une mole d’air, calculer :
- Les quantités de chaleur Q1 et Q2. (0,5 point)
Transformation isobare : Q1  = Cp(T3-T2) =29,1 (342 -359)  ~ -495 J mol -1.
 Q2  = Cp(T1-T4) =29,1 (297 -282)  ~437 J mol -1.
- Le travail W reçu au cours de la totalité du cycle. (0,5 point)
Premier principe de la thermodynamique, sur le cycle l'énergie interne de l'air ne varie pas.
W +Q1 + Q2 =0 ; W = - Q1 - Q2 = 495 -437 ~58 J mol -1
L’efficacité de la pompe, notée ɛ, est le rapport de la quantité de chaleur reçue par la source chaude au cours d’un cycle décrit par le fluide (ici l’air), et du travail reçu par ce fluide (l’air) aucours de ce même cycle.
5- Exprimer ɛ en fonction de Q1 et de W. Calculer sa valeur. (0,25 point).
e = |Q1| / W = 495 / 58 ~8,5.
 


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