Mathématiques, suites, nombres complexes, fonctions, Concours Avenir 2019

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Réponse exacte : 3 points ; réponse fausse : -1.
Répondre à 45 questions sur les 60 proposées.
Durée 1 H 30 min.
Suites numériques.
1. Soit (un) une suite arithmétique telle que u10 = 12 et u15 = 8.
Que vaut la raison r de (un) ?
a. r = 0,6 ; b. r = −0,6 ; c. r = −0,8 vrai ; d. r = −1,2.
u10 = u0 +10r ;
u15 = u0 +15r ; u15 - u10 =5r ; r =(8-12) / 5 = -0,8.

2. Soit (un) une suite arithmétique telle que :
u2018 = 12 et (u2018 +u2020 ) /2 =12,5.
Que vaut la raison r de (un) ?
a. r = 0,5 vrai ; b. r = 1; c. r = −1; d. r = −0,5.
u2018 = u0 +2018 r =12; u2020 = u2018 +2 r ; u2018 + u2020 =24 +2r = 25 ;  r =0,5.

3. Soit (un) la suite arithmétique de premier terme u0 = −10 et de raison 2 ; soit (vn) la suite géométrique de premier terme v0 = 1 et de raison 2 ; soit enfin (wn) la suite définie sur N par : wn =(un +vn) / 2..
La somme u9 +v9 +w9 est égale à :
a. 260 ; b. 520 ; c. 780 vrai ; d. 1 560.
u9 = -10 +2 x9 = 8 ; v9 = 1 x29 =512 ; w9 =(8+512) / 2 = 260 ;
u9 + v9 + w9 =8+512+260=780.

4. Soit (un) une suite géométrique de raison 2 et (vn) la suite définie par vn = 2un .
On peut alors affirmer que :
a. (vn) est une suite géométrique de raison 2. Vrai.
b. (vn) est une suite géométrique de raison 4.
c. (vn) est une suite arithmétique de raison 2.
d. (vn) est une suite arithmétique de raison 4.
un = u0 x 2n ;
vn = 2u0 x 2n = v0 x2n.

5. Soit (un) une suite géométrique de raison q non nulle et (vn) la suite définie par vn = un+1 −un.
On peut alors affirmer que :
a. (vn) est une suite géométrique de raison q. Vrai.
b. (vn) est une suite géométrique de raison q −1.
c. (vn) est une suite géométrique de raison q(q −1).
d. (vn) est une suite arithmétique de raison q.
un = u0 x qn.
un+1 = u0 x qn+1. vn = u0 ( qn+1-qn) = u0 ( q-1) qn= v0 qn.

6. Soit (un) la suite à valeurs strictement positives définies sur N par u0 = 2 et pour tout n ∈N : ...............
Il doit manquer une information.
On définit également la suite (vn) par pour tout n ∈ N :
vn =un −1/ un.
La suite (vn) est :
a. géométrique de raison 2 ;
vn = v0 2n =
un −1/ un ; un  =un −1 / (v0 2n )=[un −1 / (2v )] 1/2n-1.
u1 =[u0 / (2v )] =1/v .................
 b. géométrique de raison ½ ;
vn = v0 (1 / 2)n =un −1/ un ; un  =un −1 / v0 2n .
u1 =u0 / v0 2  = 1 / v0 ;
c. arithmétique de raison −1;
vn = v0 +(-1)n =un −1/ un ; un  =un −1 / ( v0 +(-1)n)
u1 =
u0 / ( v0 -1) = 2 /(v0-1) ; .....................
 d. arithmétique de raison 2.
vn = v0 +2n =un −1/ un ; un  =un −1 / ( v0 +2n).
u1 =u0 / ( v0 +2) = 2 /(v0+2) ; .................

7. Soit (vn)n>0 la suite définie par u0 = −1 et pour tout n ∈N :
un+1 = 2un +n +4.
On définit également sur N la suite (vn) par vn = un +n+a. Pour quelle valeur de a la suite (vn) est-elle géométrique?
a. 2 ; b. -2 ; c. 2,5 ; d. 5 ; vrai.
vn+1
2un +n +4 +n+1+a =2un +2n +5 +a = 2(un+n+(a+5)2)).
(a+5) / 2 = a ; a+5 = 2a ; a = 5.
vn+1 = 2(un+n+a) = 2 vn.

8. Soit (un) définie sur N telle que, pour tout n entier naturel non nul : un+1 = un / (2n) +2n +2. On a alors :





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Géométrie plane et nombre complexes.
Pour les questions 9, 10 et 11, on considère l’algorithme suivant :
Variables
x, y, z : nombres réels
Début algorithme
Saisir x, y, z
Si (x −2)2 +(y +5)2 = z2 alors :
Afficher « Vrai »
Sinon :
Afficher « Faux »
Fin algorithme
9. Que permet de faire cet algorithme?
a. Tester si un point appartient à une droite.
b. Tester si un point est sur un côté d’un triangle.
c. Tester si un triangle est rectangle.
Il faudrait pour cela que x >2 ; y > -5 et z >x-2 ; z >y+5.
d. Tester si un point appartient à un cercle. Vrai.
Cercle de centre (2 ; -5) et de rayon |z|.

10. Si l’utilisateur de cet algorithme entre une valeur négative pour z, alors :
a. On obtient toujours « Vrai », quelles que soient les valeurs de x et de y.
b. On obtient un message d’erreur car l’algorithme ne fonctionne pas.
c. On obtient toujours « Faux », quelles que soient les valeurs de x et de y.
d. L’affichage dépend des valeurs de x et de y.
Vrai.

11. Dans quel cas obtient-on « Vrai » ?
a. x = 3, y = 4, z = 5 ;
(3-2)2 +(4+5)2 =82 diffère de 52 = 25.
 b. x = 1, y = 1, z = 2 ;
(1-2)2 +(1+5)2 =37 diffère de 22 = 4.
c. x = 2, y = −5, z = −3 ;
(2-2)2 +(-5+5)2 =0 diffère de (-3)2 = 9.
d. x = 5, y = −1, z = 5. Vrai.
(5-2)2 +(-1+5)2 =25 égal à 52 =25.

12. Un carré a une aire égale à 48 cm2. La longueur de l’une de ses diagonales est égale à :
a. 4x6½ cm ;
Vrai.
côté du carré : 48½ = 4 x3½ ; diagonale : 4 x3½ x2½ = 4 x6½.
 b. 8x3½ cm ; c. 8
x6½ cm ; d. 4x3½ cm.

13. On note j un nombre complexe, solution de l’équation 1+z +z2 = 0.
On peut affirmer que (j+j2 +j3)3 est égal à :
a. 0 vrai ; b. 1; c. j ; d. j2.
j3(1+j +j2)3 avec 1+j +j2 = 0.

14. La partie réelle du nombre complexe 2i(1+icos p/3 +i sinp/3) est égale à :
a. 3 ; b. −2−3½ ; c. 1,5 ; d. 1+3½/2.
2i +2i2
cos p/3 +2i2 sinp/3= 2i- 2cos p/3 - 2sinp/3 ;
partie réelle :
-2 cos p/3 - 2sin p/3 =-1-3½.

 15. On note Re(z) la partie réelle et Im(z) la partie imaginaire d’un nombre complexe z.
Si z1 et z2 désignent deux nombres complexes non nuls, alors Re ((z1 +iz2) (1+i)) est égale à :
a. Re (z1 −z2)−Im(z1 +z2) ; vrai.
 b. Re (z1)−Im(z2) ;
c. Re (z1 −z2) ;
d. Im(z1)−Re (z2).
a, b, c et d réels ; z1 = a+ib ; z2 = c+id ; iz2 = -d +ic ;
z1 +iz2 =(a-d) +i(b+c) ;
(z1 +iz2) (1+i) =(a-d) +i(b+c) +i[(a-d) +i(b+c)]=a-d -b-c +i(b+c+a-d).
Partie réelle : a-c-(b+d) = Re(
z1 −z2) -Im(z1 +z2).

16. Si z = cos p/8 + i sni p/8 , alors z8 est égal à :
a. 1 ; b. i  ; c. −1 vrai ; d. −i.
z = exp(i
p/8) ; z8 =exp(i 8p/8)=exp(ip) =cos p + i sin p = -1

17. Soit p un nombre réel et (E) l’équation suivante :
2pz2 +(1−p)z +2p = 0.
À quel ensemble doit appartenir p pour que (E) ait deux racines complexes conjuguées distinctes ?
Le discriminant doit être négatif :(1-p)2 -16p2 < 0.
(1-p+4p)(1-p-4p) < 0 ; (1+3p)(1-5p) < 0.

18. Soient z1 et z2 deux nombres complexes d’arguments respectifs :
arg (z1)=5p /8 et arg (z2) =
5p /6 dans ]−p ; p]..
On peut alors affirmer que la valeur dans ]−
p ; p] de arg(z1 ×z32) est :
arg(z1 ×z32) =5p /8 +15p /6 =5p /8 +5p / 2 =5p /8 +20p / 8 =25p / 8 =4 p-7p/8.  Réponse b.

19. Dans le plan complexe, on appelle A le point d’affixe (−2+3i) et I le point d’affixe (5+6i).
Le symétrique A' de A par rapport à I a pour affixe :
a. −9−2i ;
I milieu de AA' ; 5 =(-2 +xA') / 2 ;
xA' =12 ; 6 =(3 +yA') / 2 ; yA' =9.
 b. −3+ 5,5 i
 c. −9+13i ;
d. 12+9i. Vrai.

20. Dans le plan complexe, on considère trois points distincts A, B, C d’affixes respectives zA, zB, zC avec :
AB= 8 cm et( zC −zA) / (zB −zA )=0,75 i.
La longueur du segment [BC] est égale à :
a. 6 cm ; b. 8 cm ; c. 9 cm ; d. 10 cm. Vrai.
zC-zB =zC-zA +zA-zB =0,75 i(
zB −zA ) +zA-zB =(zB −zA )(-1+0,75 i)
Module de -1 +0,75i = (1+9 /16)½ =5 / 4.
BC = 5 /4 AB =5 / 4 x8 = 10 cm.


Fonctions.
21. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note D la droite d’équation y = x.
Par ailleurs, pour n ∈N, on note (Cn) la courbe représentative de la fonction définie par : f(x) =x2 +nx +1
Combien existe-t-il d’entier(s) naturel(s) n pour le(s)quel(s) (Cn) et D n’ont aucun point en commun ?
a. 1 ; b. 2 ; c. 3 ; d. une infinité. Vrai.
x2 +nx +1 doit être différent de x soit x2 +(n-1)x +1 non nul.
x2 +(n-1)x +1=0 ; discriminant : (n-1)2-4 =0 ; n-1 =± 2 ; n =3 et n = -1 ( exclu).
n doit être différent de 3.

22. La limite, lorsque x tend vers 2 de (x2-x-2) / (x2-3x-2) est égale à :
a. 0  vrai ; b. +oo ; c. 2 ; d. 3.
Le dénominateur tend vers -4 et le numérateur tend vers zéro.

23. Le domaine de définition de la fonction f, définie par :
f (x) = lnx / [(ln(x-3½) +ln(x+3½)].
 x >0  et x-3½ > 0 soit  x > 3½ et
x+3½ > 0 soit  x > -3½ .
x doit être supérieur  à 3½.
Le dénominateur ne doit pas être nul :
(ln(x-3½) +ln(x+3½) = ln[x-3½)(x+3½)] =ln(x2-3) différent de zéro soit x2-3 différent de 1 ; x différent de ±2
]3½ ; 2 [ union ]2 ; +oo[. Réponse d.

24. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note C la courbe représentative de la fonction définie par f(x)= ln(x). L’ordonnée du point de C en lequel la tangente à C passe par l’origine du repère est égale à :
a. 0 ; b. 1 vrai ; c. e ; d. −1.
Dérivée f '(x) = 1 /x. Coefficient directeur de la tangente à la courbe au point C : 1 /xC.
Equation de la tangente  à la courbe
au point C passant par l'origine y = xC / /xC =1.


25. Le domaine de définition de la fonction f , définie par :
f (x) = ln(3x +2xex −xe2x ) est :
a. ]ln3 ; +∞[ ; b. ]−∞; 0[∪] ln3 ; +∞[ ; c. ]0 ; +∞[ ; d. ]0 ; ln3[ vrai.
3x +2xex −xe2x > 0 ; x(3 +2ex-e2x) > 0 ;
Etude du signe de
3 +2ex-e2x en pose X = ex positif ; 3 +2X-X2  =0.
Discriminant : 4 +12 = 16 ; solutions X1 =(-2 +4) / (-2) = -1 (exclu) et X2 = +3 ;
x =ln(3) ;
3 +2X-X2  est positif sur ]0 ; 3[ ; 3 +2ex-e2x est positif sur ]0 ; ln(3) [.

26. Soit f la fonction définie par f (x) = ln(ln(x½)). En notant f ′ la fonction dérivée de f , on peut affirmer que l’expression de f ′(x) est :
a. 1 /(x ln(x)) vrai ; b. 1 / ln(x½) ; c. 1/(x ln(x½)) ; d. 1 /(x ln(ln(x))).
On pose u = ln(x½) =0,5 ln(x) ; u' = 0,5 / x ; f '(x) = u' / u = 0,5 / (x ln(x½)) = 0,5 /(0,5x ln(x)) = 1 /(x ln(x)).

 27. Soit f la fonction définie par f (x) = ln(x2 −9x −22). La limite de f (x), lorsque x tend vers 11 par valeurs supérieures, est égale à :
a. 0+ ; b. 0 ; c. −∞ vrai ; d. +∞.
Quand x tend vers 11+ : x2 −9x −22 tend vers 0+ ; ln(x2 −9x −22) tend vers moins l'infini.

28. Dans l’ensemble des nombres réels, l’équation e2x −1 = 6e−2x admet :
a. aucune solution ;
b. une solution strictement supérieure à ln(2½) ; vrai
c. une solution strictement inférieure à
ln(2½) ;
d. deux solutions de signes contraires.
On pose X = e2x positif ; X-1 = 6 /X ; X2 -X-6=0 ; discriminant : 25 ; solution retenue X =3 soit
ln(3) = 2x ; x = 0,5 ln(3)~0,55.
Or
ln(2½) ~0,35.

29. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = e2x +ex .
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note (C ) la courbe représentative de f et D la droite d’équation y = x.
Combien (C ) possède-t-elle de tangente(s) parallèle(s) à
D ?
a. 0 ; b. 1 vrai ; c. 2 ; d. 4.
Coefficient directeur des tangentes à la courbe C : f '(x) = 2e2x+ex.
Ces tangentes sont parallèles à la droite d'équation y = x.
2e2x+ex= 1 ; 2e2x+ex -1 = 0.
On pose X = ex positif ; 2X2 +X-1 = 0 ; discriminant : 9 ; solution retenue : X =0,5 ; x = ln(0,5).


30. Soit f la fonction définie sur R par f (x) =(e2x-3) / (ex+1).
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, combien la courbe représentative de f possède-telle de tangente(s) parallèle(s) à l’axe des abscisses ?
a. 0 vrai ; b. 1 ; c. 2 ; d. 3.
Calcul de f '(x) en posant u = e2x-3 et v = ex+1 ; u' = 2e2x ; v' = ex ; f  '(x) =[
2e2x(ex+1) -ex(e2x-3)] / (ex+1)2.
f '(x) =(
e3x+2e2x+3ex) / (ex+1)2 = ex(e2x+2ex +3) / (ex+1)2 .
Coefficient directeur d'une tangente parallèle à l'axe des  abscisses : zéro.
e2x+2ex +3 = 0 ; on pose X = ex ; X2 +2X+3=0 ; discriminant négatif, aucune solution réelle.

31. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on note (C ) la courbe représentative de f , définie sur R, par f (x) = exp(x2+x+1).
Combien (C ) possède-t-elle de tangente(s) passant par l’origine ?
a. 0 ; b. 1 ; c. 2 vrai ; d. 4.
Calcul de la dérivée en posant X =x2+x+1 ; X' = 2x+1 ; f '(x) = (2x+1)
exp (x2+x+1).
Equation d'une tangente à la courbe passant par l'origine : y =
f '(x) x .
Au point de tangence :
exp(x2+x+1) =(2x+1)exp (x2+x+1) x.
(2x+1)x =1 ;  2x2 +x-1 = 0 ; solutions -1 et +0,5.


32. Soit u une fonction définie et dérivable sur R et à valeurs non nulles.
On définit f la fonction inverse de u par f =1 /u
 Sachant que l’équation de la tangente à la courbe représentative de u au point d’abscisse x = −2 est y = 2x + 3, on peut affirmer que f ′(−2) est égal à :
a. −2 vrai ; b. −1 ; c. 1 ; d. 2.
u'(-2) = 2 ; f ' = -u'/u2 ; f '(-2) = -u'(-2) / u(-2)2 =  -2 /u(-2)2 avec u(-2) = 2(-2)+3) =-1.





33. Soit f une fonction définie et dérivable sur R, on note f ′ sa fonction dérivée. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’origine.
Sachant que la limite en plus l'infini de f '(x) est égale à 2019 , on peut affirmer que :
a. 
la limite en moins l'infini de f '(x) est égale à 2019 ,
b.  la limite en moins l'infini de f '(x) est égale à -2019 , vrai
c.  la limite en moins l'infini de f '(x) est égale à zéro ,
d.  la limite en moins l'infini de f '(x) est égale à 1.

34. Quelle est la valeur du nombre réel a tel que :

Pour les questions 36 à 50, on considère une fonction u définie et dérivable sur R, dont la représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthonormé est donnée ci-après :

On donne de plus le tableau de variation de u :

36. On peut affirmer que l’image de 8 par la fonction u est :
a. strictement supérieure à 5;
b. strictement inférieure à 5; vrai
c. égale à 5;
d. aucune des trois affirmations précédentes n’est correcte.

37. La limite, lorsque x tend vers +∞, de u(x) est égale à :
a. +∞ ; b. −∞ ; c. 0 vrai ; d. 1.

38. Combien la valeur 0 a-t-elle d’antécédent(s) par la fonction u ?
a. 0 ; b. 1 vrai ; c. 2 ; d. une infinité.
u(-2) =0.

39. Parmi les tableaux de signes suivants, lequel correspond à la fonction u ?

40. Parmi les tableaux de signe suivants, lequel correspond à la fonction u′ ?

Pour les questions 41 à 45, on suppose que u est la fonction dérivée d’une fonction f définie et dérivable sur R.
Par ailleurs, on suppose le plan muni d’un repère orthonormé et on note (C ) la courbe représentative de f .
41. Sachant que f (10) = 12, on peut affirmer que :
a. f (11) = 12 ; b. f (11) > 12 vrai ; c. f (11) < 12 ; d. on ne peut rien affirmer concernant f (11).
Pour x > 10, u est positive ; f(x) est donc croissante.

42. Combien (C ) possède-t-elle de tangente(s) horizontale(s) ?
a. 0 ; b. 1 vrai ; c. 2 ; d. une infinité.
La tangente à la courbe C est horizontale lorsque f '(x) = u(x) = 0.

43. Que vaut f(2) sachant que :

44. Parmi les tableaux de variation suivants, lequel correspond à la fonction f ?

45. On dit qu’une fonction dérivable h est convexe (respectivement concave) sur un intervalle I si h′ est croissante (respectivement décroissante) sur I.
Si h est convexe sur [a ; b] et concave sur [b ; c] (avec a < b < c) ou si h est concave sur [a ; b] et convexe sur [b ; c], alors le point de la courbe représentative de h d’abscisse b est qualifié de point d’inflexion.
Combien la courbe représentative de f possède-t-elle de points d’inflexion?
a. 0 ; b. 1 ; c. 2 vrai ; d. 3.
u décroît sur ]-oo ; -3[ ; f est concave sur cet intervale.
u croît sur ]-3  ; -1 [ , f est convexe sur cet intervalle.
u décroît sur ]-1 ; +oo[ ; f est concave sur cet intervale.
La concavité change aux points d'abscisses -3 et -1.

Pour les questions 46 à 50, on note g la fonction dérivée de u.
46. Sachant que g (0) = −0,6, on peut affirmer que :
a. g (1) = −0,6 ; b. g (1)> −0,6 ; c. g (1) < −0,6 ; d. on ne peut rien affirmer concernant g (1). vrai.
u décroît sur ]-oo ; -3[ ; g est négative sur cet intervale.
u croît sur ]-3  ; -1 [ , g est positive sur cet intervalle.
u décroît sur ]-1 ; +oo[ ; g est négatve sur cet intervale ; de plus g(0) = -0,6.

47. Parmi les tableaux de signe suivants, lequel correspond à la fonction g ?
Erreur d'énoncé, les 4 tableaux proposés sont indentiques et faux.

48. On peut affirmer que :
a. g (x) n’admet pas de limite lorsque x tend vers +∞;
b. g (x) tend vers +∞lorsque x tend vers +∞; faux, g(x)  < 0 sur
]-1 ; +oo[
c. g (x) tend vers −∞lorsque x tend vers +∞;
d. g (x) admet une limite finie lorsque x tend vers +∞. vrai.
u tend vers zéro lorsque x tend vers plus l'infini.
En plus l'infini, le coefficient directeur de la tangente à la courbe tend vers zéro.

49. L'intégrale suivante est égale à :
50. Soit G la primitive de g sur R définie sur R par :G(x) =(5x+10) / (x2+4x+5) +2019. On a alors :
a. u(x) =
5(x+2) / (x2+4x+5) +2019.
b. u(x) =5(x+2) / (x2+4x+5).
c. u(x) =[5(x2+4x+5)-(5x+10)(2x+4)]  / (x2+4x+5)2. Vrai.
d. aucune des affirmations précédentes n’est correcte.
On dérive G en posant u = 5x+10 et v =
x2+4x+5 ; u' = 5 ; v' = 2x+4.
(u'v -v'u) / v2 =
u(x) =[5(x2+4x+5)-(5x+10)(2x+4)]  / (x2+4x+5)2.

Trigonométrie.
51. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points du cercle trigonométrique A et B de coordonnées respectives :
cos(2p/3) ; sin
(2p/3) et  cos(11p/6) ; sin(11p/6).
Les coordonnées du milieu du segment [AB] sont :
a. nulles ; b. opposées ; c. égales vrai ; d. inverses l’une de l’autre.
½[cos(2p/3) +cos(11p/6)]=cos[½ (2p/3 + 11p/6)] cos[ ½(2p/3 - 11p/6)]=cos(5p/4)cos(-7p/12).
½[sin(2p/3) +sin(11p/6)]=sin[½ (2p/3 + 11p/6)] cos[ ½(2p/3 - 11p/6)]=sin(5p/4)cos(-7p/12).
Avec cos(5p/4) = sin(5p/4).

52. Parmi les formules suivantes une seule est correcte. Laquelle ?
a. cos(cos(2a))= cos((cosa)2)sin((sina)2)+sin((cosa)2)cos((sina)2);
b. cos(cos(2a))= cos((cosa)2)sin((sina)2)sin((cosa)2)cos ((sina)2);
c. cos(cos(2a)) = cos((cosa)2)cos ((sina)2)+sin((cosa)2(sin((sina)2); vrai
d. cos(cos(2a)) = cos ((cosa)2)cos((sina)2)−sin((cosa)2)sin((sina)2).
cos(2a) =cos2a-sin2a.
cos(cosa) = cos[
cos2a-sin2a] =cos (A-B) avec A = cos2a et B =sin2a.
cos (A-B) =cos A cos B +sinA sin B.

53. Combien de solutions appartenant à l’intervalle ]-p/2 ; p/2[ l’équation
2(sinx)2 +3cos x = 3 possède-t-elle?
a. 0 ; b. 1 ; c. 2 ; d. 3. Vrai.
sin2x = 1-cos2x ; 2-2
cos2x+3cos x = 3 ; 2cos2x-3cos x +1=0.
On pose X = cos x avec -1 < X< 1 ; 2X2 -3X +1 = 0 ; discriminant :1 ; solutions retenues : 0,5 et 1 ;
cos x = 1 ; x = 0 ; cos x = 0,5 ; x =±p/3.

Probabilités.
54 On considère l’arbre de probabilité suivant :
Sachant que P(B) = 0,64, que vaut P(A∩ non B)?
a. 0,12 vrai  ; b. 0,08 ; c. 0,16 ; d. 0,42.

55. Une première urne U1 contient k boules rouges et 2k +1 boules bleues, avec k entier naturel non nul.
Une deuxième urne U2 contient 4 boules rouges et 5 boules bleues. Le jeu consiste à tirer aléatoirement une boule dans U1 puis de la verser dans U2 avant d’effectuer un deuxième tirage aléatoire d’une boule dans U2.
On appelle R l’évènement « obtenir une boule rouge à l’issue du deuxième tirage ».
Sachant que p(R) = 0,43, quelle est l’affirmation exacte parmi les quatre suivantes ?
a. k divise k2 −2 ; b. k divise 12 vrai ; c. k divise 10 ; d. k divise k2 −4.

0,5 k +0,8k +0,4 = 0,43(3k+1) ; 0,01 k = 0,03 ; k = 3.

56. Soient A et B deux évènements indépendants tels que :P(A∩B) = 0,32 et P(B) = 2P(A).
La probabilité de l’évènement B est égale à :
a. 0,04 ; b. 0,08 ; c. 0,16 ; d. 0,8 vrai.
P(A) x P(B) =0,32 ; P(A) x2 P(A) = 0,32 ; P(A)2 = 0,16 ; P(A) =0,4 ; p(B) = 0,8.

57. Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 2 et p. Sachant que p < 0,5 et que V (X) = 128 (où V (X) désigne la variance de X), on peut affirmer que :
a. p = 0,05 ; b. p = 0,1 ; c. p = 0,2 ; d. p = 0,25.
erreur dans le texte n = 2 , si on prend n = 800 :
V = n p(1-p) =2p(1-p) =128 ; p(1-p) = 0,16 ; p2-p+0,16 = 0.
Discriminant : 0,36 ; solution retenue p =0,2.

58. Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 2 et p, où p ∈ [0 ; 1]. Sachant que p(X = 1) =0,5, on peut affirmer que le réel p est égal à : a. 0 ; b. 0,25 ; c. 0,5 vrai ;
d . 1.
p(X) = 2 p(1-p)=0,5 ; p(1-p) = 0,25 ; -p2 +p=0,25 ; p2-p+0,25=0 ; p = 0,5.

Géométrie dans l'espace.
59. On suppose l’espace muni d’un repère orthonormé. Soit (P) le plan dont une équation paramétrique est :
x = 2+t +t ′
y = −2t +3t ′
z = −2+t −5t ′
avect ∈ R et t ′ ∈ R
Parmi les points suivants, lequel n’appartient pas à (P) ?
a. A(2 ; −5 ; 0) vrai ; b. B(4 ; 1 ; −6) ; c. C(2 ; 0 ; −2) ; d. D(3 ; −7 ; 5).
Si A appartient à (P) : 2 = 2 +t +t' soit t' = -t.
-5 = -2t +3t' = -5t ; t = 1 ; t' = -1.
0 diffère de -2 +t-5t' =4 ; A n'appartient pas au plan.
Si B appartient à (P) : 4 = 2 +t +t' soit t+t' = 2 ou t' = 2-t.
1 = -2t +3t' = -2t +6-3t ; t = 1 ; t' = 1.
-6 = -2 +t-5t'  ; B appartient au plan.
Si C appartient au plan :
2 = 2 +t +t' soit t+t' = 0 ou t' = -t.
0 = -2t +3t' = -2t -3t ; t = 0 ; t' = 0.
-2 = -2 +0+0  ; C appartient au plan.

 Si D appartient à (P) : 3 = 2 +t +t' soit t+t' = 1 ou t' = 1-t.
-7 = -2t +3t' = -2t +3-3t ; t = 2 ; t' = -1.
5= -2 +t-5t' =-2+2+5 ; D appartient au plan.


60. On suppose l’espace muni d’un repère orthonormé. Soient A(1; 2; 3) et B(3; 2; 1).
L’ensemble des points de l’espace équidistants de A et de B est :
a. uniquement constitué du point 1 (2; 2; 2) ;
b. une droite passant par le point 1(2; 2; 2) ;
c. le cercle de centre (2; 2; 2) et de diamètre 0,5 AB;
 d. un plan passant par le point I(2; 2; 2). Vrai.