Sciences physique, Concours Emia 2019. Ecole Militaire Interarmes.

Première partie- Étude d'un projet de jeu d'adresse.
Un propulseur (P) envoie une bille (B) sur un guide ( type gouttière). Cette gouttière commence horizontalement, fait boucle ( comme un looping ) de diamètre D, puis remonte. Sur cette montée on peut placer une sonnette ( S) à une hauteur H réglable. Le but du jeu est d'actionner assez précisément le propulseur pour que la bille effectue un tour sans atteindre la sonnette.

La bille de masse m = 20 g est assimilée à un point matériel, soumis à un ensemble de forces dont la résultante est notée F. On étudie l'évolution de ce point dans le référentiel terrestre supposé galiléen R₀, sa vitesse dans ce référentiel est notée v. Le champ de pesanteur est ici considéré comme uniforme. Les frottements sont négligés.
A. Montée.
1. Enoncer et établir le théorème de l'énergie cinétique.
La variation de l'énergie cinétique d'un système sur un trajet est égale à la somme des travaux des forces appliquées au système sur ce trajet.
On note v_bas, la vitesse de la bille en bas de la montée et v_haut, sa vitesse en haut de la montée.
Varition de l'énergie cinétique de la bille : ½mv²_haut - ½v²_bas.
En absence de frottement, l'action du plan, perpendiculaire au plan, ne travaille pas.
Travail résistant du poids lors de la montée : W = -mg z avec z, altitude atteinte.
Théorème de l'énergie cinétique : ½mv²_haut - ½mv²_bas = - mgz.
2. Etablir l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur du point matériel de masse m.
E_pp = mgz. L'origine de l'énergie potentielle est prise sur le sol horizontal.
3. Exprimer la vitesse maximale au bas de la montée pour que la bille ne touche pas la sonnette en fonction de g et H.
La vitesse est nulle au point le plus haut.
: 0 - ½mv²_bas = - mgH.
v_bas = (2gH)^½.
4. Calculer cette vitesse vmax pour H = 30 cm.
v_bas = (2 x9,81 x0,30)^½~2,4 m /s.
B. Boucle.
5. Exprimer la vitesse de la bille v et son accélération en coordonnées polaires dans la boucle.
6. Schématiser les forces s'exerçant sur la bille en un point de la boucle.
La liaison bille-rails étant parfaite, l'action des rails sur la bille est perpendiculaire au rail. Les rails guident la bille et exerce une action dirigée vers O'.

L'accélération est centripète ; sa valeur est a = v² / R.
Le vecteur vitesse reste tangent à la trajectoire et possède le sens du mouvement.
7. Exprimer la vitesse minimale en haut de la boucle v'_min pour que la bille, effectuant un mouvement circulaire dans la boucle, soit toujours en contact avec la gouttière en fonction de g et D.
La seconde loi de Newton s'écrit suivant e_r : -N + mg cos q = -mv²/R. (1)
Théorème de l'énergie cinétique entre B et la position repérée par q :
½mv² - ½mv_B² = -mgR(1-cos q) ; v² =v_B²-2gR(1-cos q). Repport dans (1)
N = mg cos q +m(v_B²-2gR(1-cos q))/ R =3 m g cos q+ m v_B²/ R -2mg.

8. Exprimer la vitesse minimale au bas de la boucle pour que la bille effectue le looping toujours en contact avec la gouttière en fonction de g et D.
Le chariot doit rester au contact des rails : N >0 quelle que soit la valeur de q, en particulier lorsque q = p.
-5mg+m v_B²/ R >0 ; v_B²>5 gR.
v_min =(5gR)^½.
9. Calculer v_min pour D = 10 cm.
v_min = (5 x9,81 x0,05)^½ ~1,6 m / s.