Sciences physique, Concours Emia 2019. Ecole Militaire Interarmes.

Exercice 1- Étude du mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme. ( 6 points).
L'objet de I'exercice est l'étude du mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur terrestre.
Hypothèses.
- le référentiel terrestre est considéré comme galiléen,
- le champ de pesanteur est uniforme et caractérisé par le vecteur g,
- la résistance de l'air c'est à dire le freinage aérodynamique est négligê,
- le projectile de masse m est considêré comme ponctuel.
Description du problème.
L'espace est rapporté au repère(artésien (O,x,y,z). La base associée est (O,i, j, k)
Le projectile est lancé, dans le plan vertical et à partir du point O, avec le vecteur vitesse initiale v₀.Le vecteur vitesse fait un angle a, avec l'axe Ox.
La position du projectile, à chaque instant, est définie par la vecteur position OM.
Le projectile tombe au point P sur l'axe Ox.

Questions.
1. En utilisant le principe fondamental de la dynamique, déterminer les équatiions du mouvement du projectile,c'est à dire,les équations paramêtriques x(t), y(t) et z(t) en fonction de v₀, a, g, et t.
Le projectile n'est soumis qu'à son poids. Les vecteurs g et vitesse initiales sont contenus dans le plan (xOz). Le mouvement s'effectue dans ce plan ( y(t) = 0 ).
Coordonnées de l'accélération : 0 ; 0 ; -g.
Coordonnées de la vitesse initiale : v₀ cos a ; 0 ; v₀ sin a .
Coordonnées du vecteur vitesse : v₀ cos a ; 0 ; -gt+ v₀ sin a
Coordonnées du vecteur position ; x(t) = v₀ cos a t ; y(t) =0 ; z(t) = -½gt²+ v₀ sin a t.
2. En déduire l'équa!ion de la trajectoire, Ie nom de la forme de la trajectoire.
Représenter son allure sur un schéma.
t = x /(v₀ cos a) ; repport dans z(t) : z(x) = -½g x² /(v₀ cos a)² +x tan a.
Il s'agit d'une branche de parabole.
3. Déterminer I'expression de la distance OP, appelée portée, en fonction de v₀, a, g.
z(t) = 0 ; -½g x² /(v₀ cos a)² +x tan a = 0 ;
x = 0 ( position initiale) et x = 2 v₀² sin a cos a / g = v₀² sin ( 2a) / g.
4. Pour quel angle de niveau (a), la portée est-elle maximale ? La valeur de l'angle sera donnêe en degrés.
La portée est maximale pour sin ( 2a) = 1 soit a = 45°.
5. Donner l'expression de la portée maximale, notêe X_M.
x_M = v₀² / g.
On applique les résultats précédents aux obus tirês par le canon de 155 mm monté sur le CAESAR.
Quelques données
- La valeur de I'intensité de la pesanteur est g =9,81 m s^-2 - Les obus ont une masse moyenne de 43 kg.
- La portée maximale est 42 km.
On se place dans le cas des conditions de tir pour une portée maximale.
Pour faciliter les calculs, la position de la bouche du canon est au point O (on néglige la hauteur de la bouche).
6. A partir des données, en déduire la valeur de vitesse initiale v₀. Le résultat sera donnê en m /s ainsi qu'en km/h; les valeurs seront arrondies à la valeur entière la plus proche.
v₀ = (g x_M)^½ = (9,81 x 4,2 10⁴)^½ =641,887 ~642 m /s.
ou 641,87 x3,6 = 2310,8 ~2311 km / h.
7. Déterminer la flèche c'est à dire la hauteur maximale atteinte par l'obus. Le résultat sera donnê en km arrondi à la valeur entière la plus proche.
Au sommet de la parabole, la composante verticale de la vitesse est nulle.
-gt+ v₀ sin a = 0 ; t = v₀ sin a / g, repport dans z(t) :
z_maxi = -½g( v₀ sin a / g )²+ v₀ sin a ( v₀ sin a / g ) = ½( v₀ sin a )²/ g .
z_maxi =0,5 (641,887 x sin 45)² / 9,81 ~10499 m ~ 10 km.
8. Calculer l'énergie cinétique de I'obus lorsqu'il arrive à son point d'impact P.
Le projectile n'est soumis qu'à son poids : son énergie mécanique se conserve.
Le point O et le point P sont sur l'axe Ox, horizontal, l'énergie potentielle de pesanteur est la même en O et en P.
L'énergie cinétique en P est égale à l'énergie cinétique en O.
½mv₀² = 0,5 x43 x641,887² ~8,9 10⁶ J.
9. La cible ne se trouve pas à 42 km sur I'axe Ox mais à38 km, déterminer les valeurs des deux angles de niveau (a₁ et a₂) qui permettent d'atteindre cette cible.
x_P= v₀² sin ( 2a) / g. sin ( 2a) = x_P g / v₀² =38 10³ *9,81/ 641,887² = 0,905.
a₁ = 32° et a₂ =90-32=58 °.
Pour les questions suivantes, on s'intéresse à la trajectoire pour laquelle l'angle de tir est inférieur à l'angle correspondant à la portée maximale déterminé à la question 4 (tir plongeant).
10. Déterminer le temps mis par l'obus pour atteindre le point d'impact.
x_P =v₀² sin ( 2a) / g= v₀ cos a t ; t = 2 v₀ sin a / g = 2 x641,887 / 9,81 sin a ~ 131 sin a.
11. Déterminer l'altitude z₁ atteinte par l'obus 10 s après la sortie du canon.
z(t) = -½gt²+ v₀ sin a t = -9,81 / 2 x10² + 10 v₀ sin a~ -490,5 +6,42 10³ sin a.
12. Déterminer l'énergie potentielle de l'obus à cet instant ainsi que son énergie cinétique.
L'énergie potentielle est considérée comme nulle lorsque z = 0.
E_pp = m g z = 43 x9,81 (-490,5 +6,42 10³ sin a)= 421,83 (-490,5 +6,42 10³ sin a )= -2,07 10⁵+2,71 10⁶ sin a.
E_c = ½mv² = 21,5 (( v₀ cos a )² +( -10g+ v₀ sin a )²)=21,5 ( v₀²+(10g)² -20g v₀ sin a).
E_c = 21,5( 641,887²+98,1²-20 x9,81 x641,877 sin a) =21,5(4,21 10⁵-1,26 10⁵ sin a)= 9,05 10⁶ -2,71 10⁶ sin a.
13. Déterminer I'ênergie mécanique à cet instant.
E_pp + E_c = -2,07 10⁵ +9,05 10⁶ ~8,84 10⁶ J ( 0,5 x43 x641,887²) ~8,84 10⁶ J
14. Est-elle êgale à l'énergie cinétique de l'obus à Ia sortie du canon. Justifier la rêponse.
Oui, l'obus n'est soumis qu'à son poids, force conservative.
Dans cette partie, on ne néglige plus la résistance de l'air.
Le modèle de force de freinage aérodynamique est

avec v vecteur vitesse du projectile.
15. Déterminer l'unité de k.
k est une force ( N ou kg m s^-2) divisé par une vitesse au carré (m² s^-2).
k s'exprime en kg m^-1.
16. Dêterminer les trois équations,différenllelles vérifiées par les trois composantes du vecteur vitesse.

Remarque : ces équations ne peuvent pas être résolues analytiquement.