Suites numériques, bac S 2019

Amérique du nord.
Partie A : établir une inégalité
Sur l’intervalle [0;+∞[ , on définit la fonction 𝑓 par 𝑓(𝑥)=𝑥−ln(𝑥+1).
1. Étudier le sens de variation de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0;+∞[.
f '(x) = 1-1/(x+1) = x /(x+1), positive sur [0;+∞[.
f(x) est strictement croissante sur [0;+∞[.
2. En déduire que pour tout 𝑥∈[0;+∞[, ln (𝑥+1)≤𝑥.
f(0) = 0 -ln(1) = 0.
De plus f(x) est strictement croissante.
par suite f(x) > 0 ; ln (𝑥+1)≤𝑥.

Partie B : application à l’étude d’une suite
On pose 𝑢₀=1 et pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_𝑛+1=𝑢_𝑛−ln (1+𝑢_𝑛). On admet que la suite de terme général 𝑢_𝑛 est bien définie.
1. Calculer une valeur approchée à 10⁻³ près de 𝑢₂.
u₁ = u₀ -ln(1+u₀) = 1 - ln2 ~ 0,307
u₂ = u₁ -ln(1+u₁) ~ 0,307 -ln1,307 ~0,039.
2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_𝑛≥0.
Initialisation : la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est suposée vraie au rang p : 𝑢_p≥0.
u_p+1 =u_p - ln(1+u_p) ; or ln(1+u_p) < u_p ; donc u_p+1 > 0.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie quel que soit n.
b. Démontrer que la suite (𝑢_𝑛) est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢_𝑛≤ 1 .
u_n+1-u_n = - ln(1+u_n) avec n(1+u_n) >0 ; donc u_{n+1 <}u_n. La suite est décroissante.
c. Montrer que la suite (𝑢𝑛) est convergente.
La suite est décroissante et minorée par 0, donc elle converge.
3. On note 𝑙 la limite de la suite (𝑢_𝑛) et on admet que 𝑙=𝑓(𝑙) où 𝑓 est la fonction définie dans la partie A. En déduire la valeur de 𝑙.
l = l-ln(1+l) ; ln(1+l) = 0 = ln(1) ; l = 0.
4. a. Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel 𝑝 donné, permet de déterminer le plus petit rang N à partir duquel tous les termes de la suite (𝑢_𝑛) sont inférieurs à 10^−𝑝.
à U on affecte 1
à N on affecte 0
Tant que U > 10-p
à U on affecte U-ln(1+U)
N = N+1
Fin tant que.
b. Déterminer le plus petit entier naturel 𝑛 à partir duquel tous les termes de la suite (𝑢𝑛) sont inférieurs à 10⁻¹⁵ .
u₀ = 1 ; u₁ = 1 -ln(2) = 0,307 ; u₂ = 0,307 -ln(1,307) = 3,9 10^-2 ; u₃ = 3,9 10^-2 -ln(1,039) = 7,4 10^-4 ;
u₄ = 7,4 10^-4 -ln(1+7,4 10^-4) = 1,013 10^-6 ; u₅ = 1,013 10^-6 -ln(1+1.013 10^-6) = 5,131 10^-13 ;
u₆ = 5,131 10^-13 -ln(1+5,131 10^-13) = 1,58 10^-17 ;
n = 6.

Centres étrangers
Le but de cet exercice est d’étudier la suite (u_n) définie par la donnée de son premier terme u₁ et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par la relation :
u_n+1 = (n+1) u_n-1.
Partie A.
1. Vérifier, en détaillant le calcul, que si u₁ = 0 alors u₄ = −17
u₂ = (1+1) u₁-1=-1 ; u₃ = (2+1) u₂-1=-4 ; u₄ = (3+1) u₃-1=-17.
2. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’en saisissant préalablement dans U une valeur de u₁ , il calcule les termes de la suite (u_n ) de u₂ à u₁₃
U = "valeur de u₁".
Pour N allant de 1 à 12
U = (N+1) *U-1
Fin Pour
3. On a exécuté cet algorithme pour u₁ = 0,7 puis pour u₁ = 0,8 . Voici les valeurs obtenues.

Pour u₁ = 0,7	0,4	0,2	-0,2	-2	-13	-92	-737	-6634	-729752	-8757025
Pour u₁ = 0,8	0,6	0,8	2,2	10	59	412	3295	29654	296539	3261928

Quelle semble être la limite de cette suite si u₁ = 0,7 et si u₁ = 0,8 ?
Si u₁ = 0,7 la suite tend vers moins l'infini et si u₁ = 0,8 la suite tend vers plus l'infini.

Partie B.
On considère la suite ( I_n) définie pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, par :

On rappelle que le nombre e est la valeur de la fonction exponentielle en 1, c’est-à-dire que e = e¹ .
1. Prouver que la fonction F définie sur l’intervalle [0;1] par F(x) =(-1-x)e^1-x est une primitive sur l’intervalle [0;1] de la fonction f définie sur l’intervalle [0;1] par f(x) = xe^1-x.
Dériver F(x) en posant u = -1-x et v = e^1-x ; u' = -1 ; v' = -e^1-x ;
u'v + v'u = -e^1-x +(1+x)e^1-x = xe^1-x = f(x).
2. En déduire que I₁= e − 2 .
I₁ = F(1) -F(0) = (-1-1)e^1-1 - (-1-0)e^1-0 = -2+e.

3. On admet que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a :
I_n+1 = (n+1)I_n-1.
Utiliser cette formule pour calculer I₂ .
I₂ = (1+1)I₁-1 = 2(e-2)-1=2e-5.
4. a) Justifier que, pour tout nombre réel x de l’intervalle [0;1] et pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a : 0 < xⁿe^1-x < xⁿe.
0 < x <1 ; 0 > -x > -1 ; 0+1 > -x+1 > -1 +1 ; 1 > -x+1 > 0 ou encore 0 < -x+1 < 1.
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur R :
e⁰ =1 < e^1-x < e¹.
Multiplier par xⁿ strictement positif :
xⁿ < xⁿe^1-x < xⁿe¹.
cette inégalité est aussi vérifiée pour x = 0.
b) Justifier que :

Une primitive de xⁿ est xⁿ⁺¹ / (n+1) ;
pour n > 1, une primitive de e xⁿ est e xⁿ⁺¹ / (n+1) ;
par suite sur l'intervalle [0 ; 1 ] : e 1ⁿ⁺¹ / (n+1)- e 0ⁿ⁺¹ / (n+1) = e / n+1).
.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a : 0 < I_n < e /(n+1).
D'après la question B.4.a : 0 < xⁿe^1-x < xⁿe.
Intégrer sur [0 ; 1] cette inégalité : 0 < I_n < e /(n+1)..
d) Déterminer la limite de I_n en plus l'infini.
D'après le théorème d'encadrement I_n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini.

Partie C.
Dans cette partie, on note n! le nombre défini, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par :
1!=1
2!= 2×1
et si n > 3 :
n!= n x (n −1)×....×1
On a ainsi par exemple
3!= 3×2×1= 3×(2×1) = 3×2!
4!= 4×3×2×1= 4×(3×2×1) = 4×3!
8!= 8×7×6×5×4×3×2×1= 8×(7×6×5×4×3×2×1) = 8×7!
Et, plus généralement :
(n +1)! = (n +1)× n!
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a : u_n =n!(u₁-e+2)+I_n.
On rappelle que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a :
u_n+1 = (n+1) u_n -1 et I_n+1 =(n+1)I_n-1.
Inittialisation : I₂ = 2e-5 ; u₂ = 2u₁-1 ; u₂-I₂ =2u₁-1-2e+5 =2u₁+4-2e = 2(u₁+2-e) =2!(u₁+2-e).
u₂ =2!(u₁+2-e)+I₂. La relation est vraie au rang 2.
Hérédité : la relation est supposée vraie au rang p : u_p =p!(u₁-e+2)+I_p.
(p+1)u_p =(p+1)p!(u₁-e+2)+(p+1)I_p.
(p+1)u_p -1=(p+1)p!(u₁-e+2)+(p+1)I_p-1.
Or (p+1)p! = (p+1)!.
u_p+1=(p+1)! (u₁-e+2)+I_p+1-1.
La relation est vraie au rang p+1.
Conclusion : la relation est vraie au rang 2 et héréditaire, elle est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 1.
2. On admet que la limite en plus l'infini de n! est égale à plus l'infini.
a) Déterminer la limite de la suite (u_n ) lorsque u₁ = 0,7 .
u_n =n!(0,7-e+2)+I_n = n!(2,7-e)+I_n.
I_n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini ; la limite en plus l'infini de n! est égale à plus l'infini.
De plus 2,7-e est négatif.
Si u₁ = 0,7 la suite tend vers moins l'infini
b) Déterminer la limite de la suite ( u_n) lorsque u₁ = 0,8 .
u_n =n!(0,8-e+2)+I_n = n!(2,8-e)+I_n.
I_n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini ; la limite en plus l'infini de n! est égale à plus l'infini.
De plus 2,8-e est positif.
Si u₁ = 0,8 la suite tend vers plus l'infini