Mathématiques, Bac STI2D Nlle Calédonie 2019

Mathématiques, Bac STI2D Nlle Calédonie 2019.
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Exercice 1. 4 points.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. Dans le plan complexe ci-dessous, on a placé le point A d’affixe z_A.

Proposition 1 : la forme algébrique de z_A est z_A = −1+1,7i. Vrai.
La projection de A sur l'axe des réels donne -1 ; la projection de A sur l'axe vertical ( imaginaires purs ) donne 1,7.
2. Durant sa scolarité,Mathilde a pris le bus 3 000 fois pour aller au collège ou au lycée.
Son temps d’attente à l’arrêt de bus, en secondes, est modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [120; 500].
Proposition 2 : elle a attendu en moyenne, au total, environ 258 heures et 20 minutes à l’arrêt de bus. Vrai.
Moyenne = (500 +120) / 2 = 310 s par voyage.
310 x 3000 =930 000 s ou 15 500 min ou 258 h 20 min.
3. Soit (d) la droite passant par les points A(1; 3) et B(4; 5).

Proposition 3 : le point C(12,1; 10,4) appartient à la droite (d). Vrai.
Equation de la droite d : y = ax+b.
La droite passe par A : 3 = a+b. (1)
La droite passe par B : 5 = 4a+b. (2)
(2)-(1) donne : 2= 3a ; a = 2 / 3.
Par suite b = 7 /3 et y = 2 x /3 +7 /3.
Si C appartient à la droite d : 10,4 = 2 *12,1 / 3 +7 /3 =10,4.
4. Proposition 4 : pour tout nombre réel x > 2, on a
ln (x²-4) = ln(x+2) +ln(x-2). Vrai.
x²-4 = (x+2) (x-2) ; ln (x²-4) =ln((x+2)(x-2)) = ln(x+2) +ln(x-2)
avec x+2 > 0 soit x > -2 et x-2 >0 soit x > 2.

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Exercice 2. 4 points.
Partie A.
Une association de protection de la nature amené durant l’été une campagne de dépollution sur des plages du golfe de Gascogne. La quantité de déchets, en litres, laissée chaque semaine de la saison estivale par les usagers sur un kilomètre de plage est modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale N (7 ; 1,5).
1. Quel est le volume moyen de déchets ramassés en une semaine sur un kilomètre de plage ?
Volume moyen 7 litres.
2. Laquelle de ces quatre courbes représente la fonction de densité de la loi normaleN (7 ; 1,5) ?
Aucune justification n’est demandée.

La courbe 1 est centrée sur 7 et assez applatie ( écart type assez grand ).
3. Quelle est la probabilité que le volume de déchets sur 1 km de plage soit compris entre 4 et 10 litres ? On arrondira le résultat au centième.
P(X <4) =0,02275 ; P(X <10) =0,9772 ;
P(4 < X < 10) = 0,9772 -0,02275 ~0,95.
4. a. Calculer P(X >5). On arrondira le résultat au centième.
b. Interpréter le résultat.
P(X <5) =0,0912 ;P(X > 5) = 1 -P(X <5) =1 -0,0912~0,91.
Partie B.
Lors d’un sondage sur la population fréquentant une plage du golfe de Gascogne, 98% des personnes interrogées ont déclaré ne jamais abandonner de déchets sur la plage.
Des bénévoles ont voulu vérifier ces déclarations en étudiant le comportement des usagers de la plage. À l’issue de plusieurs relevés, ils ont dénombré que, sur 2 200 personnes observées, 135 avaient laissé un ou plusieurs déchets sur la plage.
Ces relevés sont-ils en contradiction avec les résultats du sondage ?
On pourra utiliser un intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95% de la fréquence sur un échantillon de 2 200 personnes.
1,96 [p(1-p) / n]^½ =1,96 (0,98 x0,02 / 2200)^½ ~0,006.
Intervalle de fluctuation [ 0,98 -0,006 ; 0,98 +0,006) soit [0,974 ; 0,986 ].
La fréquence observée (2200 -135) / 2200 ~0,94 n'appartient pas à cet intervalle. Donc contradiction avec les résultats du sondage.

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Exercice 3. 6 points.
Une équipe de chercheurs japonais a découvert une bactérie nommée Ideonella Sakaiensis capable, sous certaines conditions, de digérer le plastique. Ces biologistes étudient l’évolution de la population des bactéries lors d’une mise en culture.
Partie A.
Dans une cuve, les chercheurs ont introduit 3 000 bactéries à l’instant t = 0.
On modélise par f (t ) le nombre de bactéries (exprimé en milliers) présentes dans la cuve à l’instant t (exprimé en heures).
Pendant les 48 premières heures, la vitesse d’accroissement de la population est proportionnelle au nombre de bactéries. On admet donc que f est solution, sur [0;48], de l’équation différentielle :
(E) : y′= 0,02y où y désigne une fonction de la variable t .
1. Résoudre l’équation différentielle (E).
2. Que vaut f (0) ? En déduire une expression de f (t ) sur [0; 48].
y' -0,02 y =0 ; solution y = A e^0,02t avec A une constante.
y(t=0) = A = 3. y(t) = 3 e^0,02t .
3. Au bout de combien de temps, le nombre de bactéries, aura-t-il doublé ? Arrondir le résultat au millième puis donner la réponse en heures et minutes.
6 =3 e^0,02t ; 2 = e^0,02t ; ln(2) = 0,02 t ; t = ln(2) / 0,02 ~ 34,657 h ou 34 h 40 min.
Partie B.
Passés les deux premiers jours, le nombre de bactéries présentes dans la cuve est modélisé par la suite (u_n) définie par :
u₀ = 7800
u_n+1 = 0,95u_n +1500, pour tout entier naturel n
où u_n correspond au nombre de bactéries présentes le n- jour après le deuxième jour de mise en culture.
1. Déterminer les valeurs de u₁ et u₂.
u₁ = 0,95u₀ +1500 = 0,95 x7800 +1500 =8910.
u₂ = 0,95u₁ +1500 = 0,95 x8910 +1500 =9964,5.
2. a. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin de déterminer le nombre de jours à partir duquel la population de bactéries dépasse 20 000.
u←7800
n←0
Tant que u < 20 000
u←0,95 *u +1500
n←n+1
Fin Tant que
b. Après exécution de l’algorithme on obtient n = 16. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
Au bout de 16+2 = 18 jours, le nombre de bactéries dépasse 20 000.
3. Soit (v_n) la suite définie pour tout entier n >0 par v_n = u_n −30000.
On admet que cette suite est géométrique de raison 0,95.
a. Calculer v₀.
v₀ = u₀-30 000 =7800-30000 = -22 200.
b. Exprimer v_n en fonction de n.
v_n = v₀ x0,95ⁿ = -22 200 x0,95ⁿ.
c. Montrer que, pour tout entier naturel n, u_n = 30000−22200×0,95ⁿ .
u_n = v_n +30 000 = 30000−22200×0,95ⁿ .
d. En déduire la limite de (u_n) et interpréter ce résultat.
-1 < 0,95 < 1, donc 0,95ⁿ tend vers zéro si n tend vers plus l'infini.
u_n tend vers 30 000 si n tend vers plus l'infini.
Au bout d'un temps suffisamment long, le nombre de bactéries est constant égal à 30 000.

Exercice 4. 6 points.
Pour récupérer le plastique se trouvant dans les mers et les océans, un navire expérimental, s’inspirant de la forme des raies mantas, est en projet : le Manta. Son rôle serait de collecter les déchets
plastiques flottant en surface.
Partie A.
On considère qu’un navire comme le Manta serait capable de collecter 35 tonnes de déchets plastiques par jour.
1. Chaque année, 8 millions de tonnes de déchets plastiques sont déversés dans les mers et océans. Combien de navires comme le Manta, auminimum, faudrait-il pour collecter cette
masse de déchets plastiques en un an ?
Un navire collecte 35 x365 = 12 775 tonnes de déchets par an.
Nombre de navires : 8 10⁶ / 12 775 ~626.
2. En 2025, il y aura environ 450 millions de tonnes de déchets plastiques dans les mers et océans. Avec une flotte de 700 navires comme le Manta, combien d’années faudrait-il, au
minimum, pour collecter cette masse de déchets ?
450 10⁶ / (700 x12 775) ~ 50 ans. ( à condition qu'à partir de 2025, on ne déverse plus de plastique dans les mers).

Partie B.
Le Manta est prévu pour produire lui-même l’énergie nécessaire à son fonctionnement, grâce entre autres, à des panneaux solaires.
Nous allons ici déterminer la surface de panneaux solaires sur un flanc du navire.

Le schéma ci-dessus représente la surface de panneaux solaires sur le flanc droit du navire.
On a partagé cette surface en 3 zones :
• la zone 1 : un rectangle ABCD, tel que AB= 35 m et BC = 2 m ;
• la zone 2 : un trapèze rectangle PQRS, tel que PQ = 6 m; RQ = 7,2 m et RS= 18,7 m ;
• la zone 3, qui a été modélisée, et dont la surface, dans le plan muni d’un repère orthonormé d’unité 1 mètre correspond à la partie du plan limitée par :
◦ les droites d’équations x = 0 et x = 25,
◦ la courbe représentative C_f de la fonction f définie sur [0 ; 25] par f (x) = 30e^−0,15x +18,
◦ la courbe représentative C_g de la fonction g définie sur [0 ; 25] par g (x) = −0,03x² +0,15x +15.

1. a. Montrer que la fonction F(x)= −200e^−0,15x +18x est une primitive de f sur [0 ; 25].
F '(x) = -200 * (-0,15)e^−0,15x +18 =30 e^−0,15x +18 = f(x).
b. En déduire la valeur exacte de I, puis en donner une valeur approchée au centième.
F(25)-F(0) = −200e^−0,15*25 +18*25 -(-200) = -200 e^-3,75 + 650 ~645,30 m².
2. a. Déterminer une primitive G de la fonction g sur [0 ; 25].
G(x) =−0,03x³ / 3 +0,15x² / 2 +15x = −0,01x³ +0,075x² +15x.
b. En déduire la valeur exacte de J.
J = G(25)-G(0) = −0,01*25³ +0,075*25² +15*25 = -156,25 +46,875 +375 = 265,625 m².
3. Déduire des questions précédentes que l’aire de la zone 3 est d’environ 379,67 m².
645,30 -265,625 ~379,67 m².
4. Déterminer la surface totale de panneaux solaires sur le flanc droit du navire.
Aire de la zone 1 : 35 x2 = 70 m².
Aire de la zone 2 : (6 +18,7) x7,2 / 2 =88,92 m².
70 +88,92 +379,67 =538,59 m².

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