Mathématiques, bac Sti2D et STL ( SPCL) Polynésie 2019.

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Exercice 1 ( 5 points).
En plein hiver, en Europe, une maison est chauffée à 20 °C .
La température extérieure est notée T .
Dans tout l’exercice, on suppose que T < 20 .
Lorsque le chauffage est coupé, la température intérieure diminue par perte de chaleur.
On modélise cette situation par une suite (un) dont le terme général un désigne la température intérieure de la maison n heures après la coupure du chauffage.
Pour une maison en maçonnerie traditionnelle et une température extérieure T constante, on admet que, pour tout entier naturel un+1 = 0,99 un + 0,01T ; u0 = 20.
Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A.
On suppose que la température extérieure T est égale à 0 °C. On a donc T= 0 .
1. Calculer les termes u1 et u2.
u1 = 0,99 u0 =0,99 x20= 19,8 ; u2 = 0,99 u1 =0,99 x19,8= 19,6.
2. Montrer que, dans ce cas, la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 0,99 ; il s'agit d'une suite géométrique de raison 0,99 et de premier terme u0 = 20.
3. Pour tout entier naturel n, exprimer un en fonction de n .
un = 20 x0,99n.
4. Déterminer la limite de la suite (un). Justifier.
0,99n tend vers zéro lorsque n tend vers plus l'infini. Cette suite tend vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
5. a) Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’inéquation un < 5 .
b) En déduire le nombre de jours à partir duquel la température intérieure est descendue en dessous de 5 °C.
 20 x 0,99n < 5 ; 0,99n < 5 / 20 ; 0,99n < 0,25.
La fonction logarithme étant strictement croissante sur R*+ :
n ln(0,99) < ln(0,25) ; n < ln(0,25) / ln(0,99) ; n > 138 heures soit 5 jours 18 heures.

Partie B.
On suppose que la température extérieure T est égale à -15 °C. On a donc T= -15 .
1. Montrer que, dans ce cas, la suite (un) est définie pour tout entier naturel n par :
un+1 = 0,99 un + 0,01x(-15) ; u0 = 20.
un+1 = 0,99 un - 0,15 ; u0 = 20.
2. a) Calculer les termes u1 et u2 .
u1 = 0,99 x20 -0,15 = 19,65.
u2 = 0,99 x19,65 -0,15 = 19,3035.
b) Dans ce cas, la suite (un) est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
Non, le rapport de deux termes consécutifs n'est pas constant.
3. On souhaite déterminer, à l’aide d’un algorithme, le nombre d’heures à partir duquel la température intérieure devient
strictement inférieure à 5 °C. On utilise pour cela l’algorithme incomplet ci-dessouse dans lequel U désigne un nombre réel et N un nombre entier naturel.
a) Recopier et compléter l’algorithme.
U = 20
N =0
Tant que U > 5
U = 0,99 U-0,15
N =N+1
Fin Tant que
b) À l’aide de la calculatrice, déterminer le nombre d’heures recherché.
20 x 0,99n -0,15 < 5 ; 0,99n < 5,15 / 20 ; 0,99n < 0,2575.
La fonction logarithme étant strictement croissante sur R*+ :
n ln(0,99) < ln(0,2575) ; n < ln(0,2575) / ln(0,99) ; n > 135 heures.
 ......
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Exercice 2 ( 6 points ).
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Partie A.
On considère la fonction f définie sur [0 ; 4 [ par : f(x) = 10 x + ln (4-x) -ln 4.
On note Cf sa courbe représentative dans un repère.
1. Calculer f(0) .
f(0) = 0 +ln4 -ln4 = 0.
2. a) Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers 4.
ln(4-x) tend vers moins l'infini quand x tend vers 4. Il en est de même de f(x).
b) En déduire que la courbe Cf admet une asymptote dont on précisera une équation.
La courbe admet une asymptote d'équation x = 4.
3. a) On appelle f ' la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ; 4[ .
Montrer que, pour tout x appartenant à l’intervalle  [0 ; 4[ , on a : f '(x) = (39-10x) / (4-x).
f '(x) = 10 - 1 /(4-x) = [10 (4-x) -1] / (4-x) = (39-10x) / (4-x)..
b. Étudier le signe de f '(x) pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 4[ .
c) Justifier que la fonction f atteint un maximum en 3,9.
Donner une valeur approchée au dixième de ce maximum.

Partie B.
Un constructeur de voitures électriques affirme que ses modèles peuvent atteindre la vitesse de 100 km.h-1 en moins de 3 secondes. Pour vérifier cette affirmation, des journalistes ont testé une de ces voitures en réalisant l’essai suivant :
- dans un premier temps, augmentation de la vitesse de 0 à 35,3 m. s-1 (soit environ 127 km. h-1) en 3,9 s ;
- dans un deuxième temps, stabilisation de la vitesse à 35,3 m. s-1.
L’évolution de la vitesse en fonction du temps est représentée par le graphique ci-dessous :

Durant la phase d’accélération, la vitesse de la voiture est modélisée par la fonction f étudiée dans la partie A et définie par :
 f(t) = 10 t + ln (4-t) -ln 4. avec t appartenant à [0 ; 3,9]
où t est exprimé en seconde et  v est exprimée en m / s.
1. a) Calculer f(3) .
f(3) = 30 +ln(4-3) -ln4 = 30 -ln4 ~28,6 m /s.
b) L’affirmation du constructeur est-elle vérifiée ?
28,6 x 3,6 ~103 km / h. L'affirmation est vraie.
2. La distance D, exprimée en mètre, parcourue durant la phase d’accélération est donnée par la formule :

a) On considère la fonction F définie sur [0 ; 3,9] par :
 F(t) = 5 t2 -t +(t-4)[ln (4-t) -ln4].
Montrer que la fonction F est une primitive de f .
On dérive : on pose u = t-4 ; v = ln((4-t) -ln 4 ; u' = 1 ; v' = -1/(4-t).
F '(t) = 10t -1 +ln (4-t) -ln4 -(t-4) / (4-t) = 10 t+ ln (4-t) -ln4 = f(t).
b) Calculer la distance D arrondie au dixième.
D = F(3,9)-F(0) = 5 x3,92 -3,9 -0,1x [ln(0,1) -ln4] +4 [ln4 -ln 4] ~72,5 m.



Exercice 3. 5 points.
Les résistances et les condensateurs sont des composants électroniques utilisés dans le domaine du son pour concevoir des filtres.
Placé en sortie d’un microphone, un filtre atténue plus ou moins les sons selon leur fréquence f, exprimée en Hertz (Hz).
Pour un filtre donné, l’atténuation d’un son se calcule à l’aide de deux nombres complexes zR = 10 et zC =-1000 *3½ / f i.
 où i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument p /2.
Partie A : Effet du filtre sur un son grave.
On choisit un son grave de fréquence f= 100 .
1. Montrer que zC = -10 *3½ i.
zC =-1000 *3½ / 100 i = -10 *3½ i.
2. a) Déterminer la forme exponentielle de zC .
|zC| =[(10*3½)2 ]½ = 10 *3½.
|zC| / zC = -i = sin (-p/2) ; zC = 10*3½ e-ip /2.
b) On considère le nombre complexe Z=zR +zC . On a donc Z = 10-10*3½i.
Déterminer la forme exponentielle de Z .
|Z|=[102+(-10*3½)2 ]½ =[100 +300]½ = 400½ = 20.
|Z| / Z =0,5 -3½/ 2 i = cos(-p/ 3) +i sin(-p/3)  ; Z = 20 e-ip/3.
c) On considère le nombre complexe zG défini par : zG=zC / Z.
Montrer que zG = 3½ / 2 e-ip/6.
zG =10*3½ e-ip /2 / (20 e-ip/3 )=3½ / 2 e-ip/2+ip/3=3½ / 2 e-ip/6.
d) Le module du nombre complexe zG  est appelé gain du filtre.
Donner la valeur exacte du gain du filtre puis une valeur approchée au centième.
Gain = 3½ / 2 ~0,87.

Partie B : Effet du filtre sur un son aigu.
On choisit un son aigu de fréquence f= 1000 *3½.
1. Montrer que le nombre complexe zG défini par zG = zC / Z est égal à -i / (10-i).
zC = -1000 *3½ / ( 1000 *3½) i = -i.
Z = 10 -i
zG = -i / (10-i).
2. Déterminer la forme algébrique de zC.
zG = -i(10+i) / (102-i2) =(-10 i-i2) / 101 =(1-10 i) / 101.
3. Calculer la valeur exacte du gain du filtre |zG| et en donner une valeur approchée au centième.
|zG|  =[12 +(-10)2]½ / 101 = 101 ½ / 101 =1 / 101½~0,1.


Exercice 4 (4 points)
Cet exercice est composé de quatre affirmations indépendantes. Pour chacune d’entre elles, préciser si elle est juste ou fausse. Les réponses doivent être justifiées. Une réponse non justifiée
ne rapporte aucun point.
Une nouvelle gamme de téléphones portables est à l’étude.
1. La durée de fonctionnement, exprimée en jour, du processeur de ce téléphone portable est modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle dont l’espérance
est égale à 10 000 jours. La durée de garantie légale du téléphone portable est de 2 ans, soit 730 jours.
AFFIRMATION 1 : La probabilité que le processeur s’arrête de fonctionner durant la période de garantie est égale à e-0,073. Faux.
l = 1/E(X) = 1 / 10000.
P( X <730) =1-e-0,073~0,070.

2. Pour anticiper la charge de travail du service après-vente, des tests ont été effectués en vue d’estimer le temps de réparation d’un téléphone sous garantie. Ce temps, exprimé
en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire T qui suit la loi normale d’espérance µ= 50 et d’écart-type s= 7 .
AFFIRMATION 2 : La probabilité, arrondie au millième, que le temps de réparation T soit inférieur à 1 heure est 0,923 .Vrai.
P (T< 60) =0,923.

3. Une amélioration technique a été apportée. Désormais, la probabilité qu’un téléphone soit réparable en moins d’une heure est estimée à p= 0,97 . Un atelier du service aprèsvente
prévoit de réparer 200 téléphones portables. On s’intéresse aux échantillons constitués, aléatoirement, de 200 téléphones portables à réparer.
AFFIRMATION 3 : Pour de tels échantillons, en arrondissant les bornes au millième, l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de téléphones
réparables en moins d’une heure est [0,946 ; 0,994] . Vrai.
1,96 [0,97 (1-0,97) / 200)½ = 0,0236.
[0,97 -0,0236 ; 0,97 +0,0236] soit [0,946 ; 0,994].

4. Un fabricant de processeurs pour téléphone portable certifie que, dans son stock, la probabilité qu’un processeur neuf soit défectueux est p= 0,0001 .
On désigne par Y la variable aléatoire correspondant au nombre de processeurs défectueux dans un lot de 200 prélevés au hasard. Le stock est suffisamment important
pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. Ainsi, la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n= 200 et p= 0,0001 .
AFFIRMATION 4 : La probabilité, arrondie au millième, qu’il n’y ait aucun processeur défectueux dans un lot de 200 processeurs est égale à 0,980 . Vrai.
P(Y =0) = 0,980.

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