Mathématiques, bac Sti2D et STL ( SPCL) métropole 2019.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.

.
.


Exercice 1 ( 4 points).
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.
1. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct.
On note zA l’affixe d’un point A appartenant au cercle de centre O et de rayon 4. La partie réelle de zA est positive et sa partie imaginaire est égale à 2.
Le nombre complexe zA a pour forme exponentielle :
a. 4 exp(-ip/6) ; b. -4 exp(ip/6) ; c. 4 exp(ip/6) ; d. -4 exp(-ip/6).
zA =a+2i avec a positif.
4 = (a2 +22)½ ; 16 = a2 +4 ; a = 2*3½.
zA = 4(3½/ 2 +0,5 i) = 4(cos (p/6) + i sin(p/6) ) = 4 exp(ip/6).

2. Le nombre -3 est solution de l’équation :
a. ln(x) = - ln(3) ; b. ln(ex ) = -3 (vrai)  c. eln(x) = 3 ; d. ex = 3.
ln(ex ) = x = -3.

 3. On considère la fonction g définie sur l’intervalle ] -0,5 ; + oo[ par g (x) =ex /(2x+1)..
La fonction g est dérivable sur cet intervalle.
a. g'(x) = ex/2 ; b. g'(x) = ex /(2x+1)2 ; c. g'(x) = (2x+3)ex / (2x+1)2.
d. aucune des réponses précédentes.( vrai).
On pose u = ex et v = 2x+1 ; u' = ex ; v' = 2.
(u'v -v'u) / v2 =ex(2x+1 -2) / (2x+1)2 = ex(2x-1) / (2x+1)2 .

4. On considère l’équation différentielle y" +4y =0 dans laquelle y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur R.
Une fonction f , solution de cette équation différentielle, qui vérifie f (0)= 1 est définie sur R par :
a. f (x) = e2x ; b. f (x) = cos(2x) (vrai)  c. f (x) = sin(2x) ; d. f (x) = cos(4x).
Equation caractéristique : r2+4 =0 ;r2 = -4 = 4 i2 ;  r = ±2i ;
Solution générale : f(x) = A cox (2x+B) avec A et B des constantes.
f(0) = A cos B = 1 ; B = 0 et A = 1. f(x) = cos(2x).



Exercice 2 ( 7 points ).
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le conservatoire des espaces naturels d’une région s’occupe d’une zone protégée de 1800 hectares.
Depuis plusieurs années, il surveille le domaine d’extension d’une plante invasive.
Cette plante inhabituelle, d’origine exotique, devient envahissante et cause une régression de la biodiversité. Si le conservatoire constate qu’à la fin d’une année l’aire de la surface occupée par la plante dépasse 80 hectares, cette plante fera alors l’objet d’un plan d’élimination progressive à partir de l’année suivante.
Partie A.
1. Des relevés de la surface occupée par cette plante ont été effectués sur le terrain, en fin d’année, de 2015 à 2018 :
Année
 2013
 2016
 2017
 2018
Surface en ha
 63
 66,2
 69,5
 73

Le conservatoire estime que l’aire de la surface occupée par cette plante a augmenté de 5% environ chaque année.
Vérifier que cette estimation est cohérente avec les relevés pris sur le terrain.
63 x1,05 =66,15 ; 66,2 x1,05 =69,51 ; 69,5 x1,05 =72,975.
2. On considère qu’à partir de l’année 2018 la surface occupée par la plante augmente chaque année de 5%.
Expliquer alors pourquoi la décision de commencer l’élimination de la plante devrait être prise à la fin de l’année 2020 par le conservatoire.
Surface occupée fin 2019 : 73 x1,05 =76,65 ; fin 2020 : 76,65 x1,05 =80,48, valeur suéprieure à 80 ha.
3. Le conservatoire décide de mettre enoeuvre un plan d’élimination progressive. Ce plan prévoit d’éliminer la plante, par arrachage ou par brûlage thermique, sur une surface de 10 hectares à chaque fin d’année, à partir de l’année 2021.
Pour tout entier naturel n, on désigne par Pn l’aire de la surface occupée par la plante, exprimée en hectares, en fin d’année « 2020+n , en prenant P0 = 80,5.
a. Montrer que P1 = 74,525.
P1 = 80,5 x1,05 -10 =74,525.
b. Justifier que pour tout entier naturel n, on a : Pn+1= 1,05Pn-10.
Chaque année la surface croît de 5 % et en fin d'année 10 ha sont détruits.
c. Donner une valeur arrondie de P2 à 10-3 près.
P2 = 74,525 x1,05 -10 =68,251.
d. Pourquoi la suite (Pn) n’est-elle pas géométrique?
On ne passe pas d'un terme au suivant en le multipliant par un nombre constant.
4. Le conservatoire décidera de mettre fin au plan d’élimination dès que l’aire de la surface occupée par la plante sera inférieure
à 6 hectares. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’à la fin de son exécution, la variable n contienne
le nombre d’années de mise en oeuvre du plan.
n=0
P =80,5
Tant que P> 6
P = P x1,05-10
n= n+1 .
Fin Tant que
5. À la fin de quelle année le plan d’élimination prendra-t-il fin ?
P3 = 68,251 x1,05 -10 =61,664 ;
P4 = 61,664 x1,05 -10 =54,747 ;
P5 = 54,747 x1,05 -10 =47,484 ; 
P6 = 47,484 x1,05 -10 =39,859 ; 
P7 = 39,859 x1,05 -10 =31,851 ;
P8 = 31,851 x1,05 -10 =23,444 ;
P9 = 23,444 x1,05 -10 =14,616 ;
P10 =14,616 x1,05 -10 =61,6645,347. ( fin 2030).



Partie B.
Le logo utilisé par le conservatoire pour la communication est constitué de deux feuilles symétriques l’une de l’autre.
Soient les fonctions f et g définies sur l’intervalle [0,1 ; 0,125 ] par f (x) = 0,2 / x et g (x) = -x2+0,2x +1.
On note Cf et Cg les courbes représentatives de ces fonctions tracées dans le repère orthonormé ci-dessous.
On admet que ces deux courbes Cf et Cg se coupent en deux points.

La feuille gauche du logo correspond à la partie grisée du plan, délimitée par ces deux courbes.
1. Vérifier par le calcul que 0,2 est une solution de l’équation f (x) = g (x).
0,2 /x = -x2 +0,2x +1.
-x3 +0,2x2 +x-0,2 = 0.
-0,23 +0,23 +0,2-0,2 = 0 est vérifiée.
2. Déterminer graphiquement la seconde solution de cette équation.
x = 1.
3. a. Interpréter graphiquement l’intégrale 
Aire du domaine limité par la courbe Cg, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0,2 et x = 1..
b. Donner une valeur approchée de cette intégrale à 10-2 près.
Primitive de g(x) : -x3 /3 +0,1 x2 +x.
I =(-1 / 3 +0,1 + 1) -(0,23 /3 +0,1 *0,22+0,2)= 0,7667 -0,2013 ~0,57.
4. a. Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0,1;1,25] par F(x) =  0,2 ln(x). est une primitive sur l’intervalle [0, 1; 1,25] de la fonction f .
F'(x) = 0,2 / x = f(x).
b. Calculer la valeur exacte de
J = 0,2 ln(1) -0,2 ln(0,2) ~0,32.
5. On admet que la courbe Cg est située au-dessus de la courbe Cf sur l’intervalle [0,2 ; 1]
L’unité choisie sur chacun des axes est de 2,5 cm.
En déduire, au cm2 près, une valeur approchée de l’aire totale du logo.
2 (0,57 -0,32) x2,52 ~3 cm2.


Exercice 3 (4 points)
Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d’un mélange composé de calcaire et d’argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui
libèrent dans l’air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO2).
Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s’effectue de 7h30 à 20h, dans une pièce de volume 900 000 dm3.
À 20h, après une journée de travail, le taux volumique de CO2 dans la pièce est de 0,6%.
1. Justifier que le volume de CO2 présent dans cette pièce à 20h est de 5400 dm3.
900 000 x0,6 /100 =5400 dm3.
2. Pour diminuer ce taux de CO2 durant la nuit, l’entreprise a installé dans la pièce une colonne de ventilation. Le volume de CO2, exprimé en dm3, est alors modélisé par une
fonction du temps t écoulé après 20h, exprimé en minutes. t varie ainsi dans l’intervalle [0 ; 690] puisqu’il y a 690 minutes entre 20h et 7h30. On admet que cette fonction
V , définie et dérivable sur cet intervalle est une solution, sur cet intervalle, de l’équation différentielle (E) : y' +0,01 y = 4,5.
a. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle (E).
Solution générale de l'équation y' +0,01y =0 : f(t) = A e-0,01t, avec A une constante.
Solution particulière de (E) : y = 4,5 /0,01 = 450.
Solution générale de (E) : V(t) =A e-0,01t +450.
b. Vérifier que pour tout réel t de cet intervalle, V(t) =4950 e-0,01t +450.
V(0) = A +450 = 5400 ; A = 4950.
 V(t) =4950 e-0,01t +450.
3. Quel sera, au dm3 près, le volume de CO2 dans cette pièce à 21h?
t = 60 ; V(60) = 4950 e-0,6 +450.~3167 dm3.
4. Les responsables de la cimenterie affirment que chaque matin à 7h30 le taux de CO2 dans cette pièce est inférieur à 0,06%.
Cette affirmation est-elle vraie? Justifier la réponse.
900 000 x0,06 / 100 =540 dm3.
V(690) = 4950 e-6,9 +450 ~455 dm3 , valeur inférieure à 540. L'affirmation est vraie.
5. Déterminer l’heure à partir de laquelle le volume de CO2 dans la pièce deviendra inférieur à 900 dm3.
4950 e-0,01t +450 < 900 ;
4950 e-0,01t < 450 ; e-0,01t < 450 / 4950 ;
-0,01t < ln(450 / 4950) ; -0,01 t < -2,398 ; t > 239,8.
239,8 / 60 ~ 4 heures. ( 24 heures).
.... ....

.
  
Exercice 4 (5 points)
Dans cet exercice, les résultats sont à arrondir à 10-3 près.
Les trois parties sont indépendantes.
Partie A.
Les téléphones portables intègrent des capteurs photographiques de plus en plus évolués. Ces capteurs sont fragiles et ont une durée de vie limitée.
La durée de fonctionnement sans panne, exprimée en années, d’un capteur photographique est modélisée par une variable aléatoire D qui suit la loi normale de paramètres µ =4 et
s=1,23.
1. Quelle est la durée moyenne de fonctionnement sans panne d’un capteur photographique ?
4 ans.
2. Déterminer la probabilité P(3,5<D < 4, 5).
P(3,5 < D) =0,34218 ; P(4,5 < D) =0,65781 ; P(3,5<D < 4, 5) = 0,65781 -0,34216 ~0,316.
3. Lors de l’achat d’un téléphone portable, la garantie pièces et main d’oeuvre est de deux ans. Quelle est la probabilité que la durée de fonctionnement sans panne d’un capteur photographique soit inférieure à la durée de garantie ?
P(2 < D)= 0,05197~0,0520

Partie B.
Lorsqu’un téléphone portable devient défectueux et qu’il est encore sous garantie, le client peut le déposer dans un point de vente agréé pour réparation ou échange contre un appareil
neuf. On s’intéresse au temps d’attente, exprimé en jours, avant le retour de l’appareil, réparé ou échangé. Ce temps peut être modélisé par une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle
de paramètre  l= 0,025.
1. a. Déterminer l’espérance E(T ) de la variable aléatoire T .
b. Interpréter cette valeur dans le contexte.
E(T) = 1 / l = 1 / 0,025 =40 jours.
Le temps d'attente moyen est de 40 jours.
2. Un téléphone portable, défectueux et encore sous garantie, a été déposé par un client dans un point de vente agréé.
a. Calculer la probabilité P(T < 7) et interpréter ce résultat.
P(T < 7) = 1- e-0,025 x7 =0,161.
La probabilité que le client attente moins de 7 jours est égale à 0,161.
b. Calculer la probabilité que le client doive attendre plus de 20 jours avant de récupérer son téléphone portable.
P(T > 20) =  e-0,025 x20 =0,607.

Partie C.
Un magazine spécialisé souhaite comparer l’efficacité des services après-vente (S.A.V.) pour les téléphones portables de deux marques A et B. Après une enquête auprès de clients, le
magazine obtient les résultats suivants :
Marque de téléphone Nombre de clients du S.A.V.
ayant répondu à l’enquête		 Nombre de clients indiquant avoir
récupéré leur téléphone en moins
de 20 jours
A
 120
 47
B
 92
 26
1. On admet que l’intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la proportion de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque A est
[0,304 ; 0,480].
Déterminer l’intervalle de confiance, au niveau de confiance 95%, de la proportion de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque B.
Fréquence f = 26 /92 ~0,2826.
1,96 [0,2826(1-0,2826) / 92)½ =0,092.
Intervalle de confiance (0,2826 -0,092 ; 0,2826 +0,092] soit [0,190 ; 0,375].
2. Au vu des deux intervalles de confiance obtenus, le magazine peut-il indiquer à ses lecteurs qu’il y a une différence significative dans l’efficacité des deux S.A.V. ? Justifier
la réponse.
Les intervalles de confiance ne sont pas disjoints. On ne peut pas conclure qu'il y ait une différence significative dans l'efficacité des deux SAV.
menu