Mathématiques,
bac St2S Polynésie septembre 2019.
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Exercice 1.
7 points.
Un nutritionniste consulte les fiches de ses patients de l’année 2018
qui suivent tous un régime avec ou sans gluten.
Les deux parties du problème sont indépendantes.
Partie A.
Le nutritionniste fait les trois constats suivants :
• parmi ses patients, il compte 312 femmes ce qui représente 60 % de sa
patientèle ;
• 25 % de ses patients suivent un régime sans gluten ;
• parmi ses patients suivant un régime avec gluten, 70 % sont des
femmes.
1. a. Justifier que
le nombre total de ses patients s’élève à 520.
312 / 0,60 = 520.
b. En déduire le
nombre de patients suivant un régime sans gluten.
520 x0,25 =130.
c. Compléter le
tableau d’effectifssuivant.
Nombre
de patients
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Femmes
|
Hommes
|
Total
|
qui
suivent un régime avec gluten
|
390
x0,7=273
|
208-91=117
|
390
|
qui
suivent un régime sans gluten
|
312-273=39
|
130-39=91
|
130
|
Total
|
312
|
520-312=208
|
520
|
2. Dans les
questions suivantes, on exprimera les proportions en pourcentage, et
on arrondira les résultats à 0,1 %.
a. Calculer la
proportion d’hommes suivant un régime avec gluten dans l’ensemble de la
patientèle.
117 / 520 x100 =22,5 %.
b. Calculer la
proportion de femmes parmi les patients suivant un régime sans gluten.
39 / 520 x100 =7,5 %.
Partie B.
Le
nutritionniste isole les fiches de ses patients seniors (plus de 60
ans). Parmi eux, certains, souffrant de troubles cardio-vasculaires,
doivent suivre un régime sans sel. Il remarque que :
• parmi ses 200 patients seniors, 96 sont des hommes et 104 sont des
femmes ;
• parmi les hommes seniors, 60 suivent un régime sans sel ;
• parmi les femmes seniors, 26 suivent un régime sans sel.
Le nutritionniste choisit une fiche au hasard parmi celles des patients
seniors. Chaque fiche a la même probabilité d’être choisie.
On considère les événements suivants :
- H : « la fiche est celle d’un homme » ;
- F : « la fiche est celle d’une femme ».
- R : « la fiche est celle d’un patient senior suivant un régime sans
sel ».
Dans les questions
suivantes, on donnera les valeurs exactes des probabilités demandées.
1. a. Vérifier que
P (H) = 0,48.
P(H) = 96 / 200 =0,48.
b. Recopier et
compléter l’arbre pondéré de probabilités ci-dessous.
2. a. Décrire par
une phrase l’événement H ∩R , puis calculer P (H ∩R)
Le senior est un homme et il suit un régime sans sel.
P (H ∩R) =0,48 x 0,625 =0,30.
b. Montrer que la
probabilité de l’événement R est égale à 0,43.
Formule des probabilités totales : P (H ∩R) +P
(F ∩R) =0,30 +0,52 x0,25 =0,30 +0,13 = 0,43.
c. Les événements R et H sont-ils
indépendants ? Justifier la réponse.
P (H ∩R) =0,30 ;
P(H) = 0,48 ; P(R) =0,43 ; 0,48 x0,43 =0,2064 différent de 0,30.
P (H ∩R) diffère de P(H) x P(R) ; les
événements R et H ne sont pas indépendants.
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Exercice 2.
(5 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles
une seule est correcte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n’est enlevé pour
une absence de réponse ou pour une réponse inexacte.
La courbe C ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction ƒ
définie sur l’intervalle [−2;3]. La droite T est la tangente à la
courbe C au point d’abscisse 2.
1. L’image de 0
par la fonction ƒ est :
a. 0 ; b. 1 ; c. 2 vrai
; d. 2,58
2. Par la fonction
ƒ, le réel 1 admet :
a. un antécédent ; b. deux antécédents ;
c. trois antécédents
vrai ; d. aucun antécédent
3. L’inéquation
ƒ(x) < 2 a pour
ensemble de solutions :
a. [−2;−1] ; b. [−1;0] ; c.
[−2;−1]∪[0;3] vrai ; d. {−1; 0 ; 3}
4. On note ƒ' la
fonction dérivée de la fonction ƒ sur l’intervalle [−2;3]. Alors :
a. ƒ'(2) = −1 ; b. ƒ'(2) = −2 ; c.
ƒ'(2) = 0,5 vrai ; d. ƒ'(2) = 4
5. La fonction ƒ
est définie sur l’intervalle [−2;3] par : ƒ(x) = 0,5x3 − x2
−1,5x + 2 . Alors :
a. ƒ'(−2) = 8,5 vrai
; b. ƒ'(−2) = 9 ; c. ƒ'(−2) = −3 ; d. ƒ'(−2) = 2.
f '(x) = 1,5 x2 -2x-1,5 ; f '(-2) =1,5 x4 +2 x2 -1,5 = 8,5.
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Exercice 3. 8 points.
Au sein
d’une entreprise de préparation de colis, un médecin du travail
répertorie les maladies et accidents professionnels des salariés
survenus depuis 2012.
Les deux parties du problème sont indépendantes.
Partie A :
maladies et accidents professionnels.
En regroupant les maladies et accidents professionnels par année, il
obtient le tableau suivant :
année
|
2012
|
2013
|
2014
|
2015
|
2013
|
2017
|
2018
|
rang
( xi)
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
nombre
de maladies et accidents ( yi)
|
243
|
257
|
264
|
277
|
296
|
302
|
314
|
on a représenté, dans un repère orthogonal, le nuage de points de
coordonnées (xi ; yi) associé à cette série
statistique.
1. Calculer les
coordonnées du point moyen G du nuage et placer G dans le repère
précédent.
xG =(0 +1 +2 +3 +4 +5 +6) / 7= 3
yG=(243 +257 +264 +277 +296 +302 +314) / 7 =279.
2. On considère la
droite D d’équation : y = 12x + 243 . On admet que cette droite réalise
un ajustement affine de cette série valable jusqu’en 2025.
a. Tracer la
droite D dans le repère en annexe. Indiquer les coordonnées des points
utilisés.
Point G et point de coordonnée (0 ; 243).
b. Selon ce modèle,
donner une estimation du nombre de maladies et accidents professionnels
en 2022. Justifier la réponse.
x = 10 ; y = 12 x10 +243 = 363.
Partie B :
améliorations des conditions de travail
En fin d’année 2018, la direction a décidé de faire appel à un
ergonome, expert en conditions de travail. Celui-ci étudie
l’organisation de l’entreprise, les cadences de travail et la façon de
travailler des salariés. Il recommande la mise en place de nouveaux
rythmes de travail, des investissements dans des machines pour le
transport de charges lourdes et propose un ensemble de bonnes pratiques
à respecter. Ces consignes sont mises en application à partir du mois
de janvier 2019.
En janvier 2019, on a comptabilisé 26 maladies et accidents
professionnels dans l’entreprise.
L’ergonome estime que le nombre de maladies et d’accidents
professionnels diminuera chaque mois de 6 % à partir de février 2019.
1. Estimer le
nombre de maladies et d’accidents professionnels attendus par
l’ergonome en février 2019. Arrondir le résultat à l’unité.
26 x(1-0,06) =26 x0,94 =24,44 ~24.
2. L’ergonome
propose d’estimer le nombre de maladies et d’accidents professionnels
dans les mois à venir à l’aide d’un tableur. Il a commencé à remplir le
tableau ci-dessous. Les cellules de la ligne 3 sont au format nombre
arrondi à l’unité.
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
1
|
mois
|
janvier
2019
|
février
|
mars
|
avril
|
mai
|
juin
|
juillet
|
2
|
rang
du mois
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
3
|
nombres
maladies et accidents
|
26
|
|
|
|
|
|
|
Quelle formule entrée dans la cellule C3, puis recopiée vers la droite,
permet d’obtenir le nombre de maladies et d’accidents professionnels
dans l’entreprise dans les mois à venir ?
=0,94*B3
3. On modélise le
nombre de maladies et d’accidents professionnels ayant lieu le n-ième
mois après janvier 2019 par une suite (un ). Ainsi u0
= 26 .
a. Quelle est la
nature de la suite (un ) ? Quelle est sa raison ?
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 0,94 ; suite
géométrique de raison 0,94 et de premier terme 26.
b. Pour tout
entier n , exprimer un en fonction de n.
un = 26 x0,94n.
c. Calculer le
nombre de maladies et d’accidents professionnels prévisibles en juillet
2019.
u6 = 26 x0,946 =17,93 ~18.
4. a. Résoudre dans
R l’inéquation : 26×0,94x < 12.
0,94x <
12 /26 ; x ln(0,94) <
ln(12 /26) ; -0,061875 x <
-0,7731 ; x >
0,7731 / 0,061875 ; x >12,49 soit 13.
b. L’ergonome
estime que descendre à 12 maladies et accidents professionnels par mois
est un bon objectif. À partir de quel mois et de quelle année cet
objectif sera-t-il atteint conformément au modèle ?
x = 13 ; fin février 2020 ou début mars 2020.
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