Mathématiques,
bac St2S Polynésie 2019.
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Exercice 1.
5points.
Un
audioprothésiste compte parmi ses clients 75 % de personnes âgées de
plus de 50 ans. Parmi celles-ci, 80 % souffrent de problèmes d’audition
aux deux oreilles. Ce taux chute à 40 % parmi les clients de moins de
50 ans.
On choisit au hasard le dossier médical d’un client ; chaque dossier a
la même probabilité d’être choisi.
On considère les événements suivants :
• A : « le client est âgé de plus de 50 ans » ;
• D : « le client souffre de problèmes auditifs aux deux oreilles ».
1. a. En utilisant
les données fournies par l’énoncé, donner les probabilités p(A) et P
non A (D).
P(A) =0,75 ; P non A (D)=0,40.
b. Recopier et compléter l’arbre
pondéré de probabilités qui traduit la situation.
2. a. Calculer la
probabilité que le client choisi ait plus de 50 ans et souffre de
problèmes auditifs aux deux oreilles.
P(A nD) = 0,75 x0,80 = 0,60.
b. Montrer que la
probabilité que le client choisi souffre de problèmes auditifs aux deux
oreilles est égale à 0,7.
Formule des probabilités totale :
P(A n D) + P(non
A nD) =0,60 + 0,25 x0,40 =0,70.
3. Le client choisi ne souffre pas
de problème auditif aux deux oreilles. Calculer la probabilité qu’il
soit âgé de plus de 50 ans.
Pnon D(A) = P(non D n A) / P(non D).
P(non D) =0,75 x0,20 +0,25 x0,60 =0,15
+0,15 = 0,30.
P(non D n A) =0,75 x0,20 = 0,15.
Pnon D(A) =0,15 / 0,30 = 0,50.
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Exercice 2.
(10 points)
Le dioxyde d’azote (NO2)
est un polluant indicateur des activités de combustion, notamment du
trafic routier. Pour la protection de la santé humaine, les normes
européennes fixent la valeur limite annuelle d’émission de NO2
à 40 microgrammes par mètre-cube.
On a reporté dans la feuille de calcul ci-après le nombre (en million)
d’habitants d’une région urbaine potentiellement exposée à un
dépassement de la valeur limite annuelle de NO2 entre 2010
et 2017. Ce dépassement est noté DVLA.
La ligne 4 est au format pourcentage, arrondi à 0,1 %.
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A
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B
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C
|
D
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E
|
F
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G
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H
|
I
|
1
|
année
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2010
|
2011
|
2012
|
2013
|
2014
|
2015
|
2016
|
2017
|
2
|
rang
de l'année (xi) |
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
3
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nombre
d'habitants exposés à un DVLA (yi) en millions.
|
2,9
|
2,7
|
2,6
|
2,6
|
2,4
|
1,6
|
1,5
|
1,3
|
4
|
taux
dévolution annuel ( %)
|
|
-6,9
|
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Partie A.
1. Le nombre
d’habitants de cette région en 2017 est estimé à 12,2 millions.
Calculer la proportion d’entre eux exposés à un DVLA. Donner le
résultat en pourcentage, arrondi à 0,1 %.
1,3 x100 / 12,2 =10,7 %.
2. a. Calculer le
taux d’évolution global entre 2010 et 2017. Donner le résultat en
pourcentage, arrondi à 0,1 %.
(1,3 -2,9) x100 / 2,9 = -55,2 %.
b. Quelle formule
peut-on saisir dans la cellule C4 qui, recopiée vers la droite, permet
de calculer les taux d’évolution du nombre d’habitants exposés à un
DVLA entre deux années consécutives ?
=(C3-B3)/B3
Partie B.
On a représenté dans un repère orthogonal , le nuage de points de
coordonnées (xi ; yi ).
1. Calculer les
coordonnées du point moyen G puis le placer sur le graphique.
xmoyen =(0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7) / 8 = 3,5.
ymoyen =(2,9 +2,7 +2,6 +2,6 +2,4 +1,6 +1,5 +1,3) / 8=2,2.
2. On admet que la
droite D d’équation : y = − 0,26x + 3,11 réalise un ajustement affine
du nuage de points jusqu’en 2022.
Estimer l’année au cours de laquelle le nombre d’habitants exposés à un
DVLA deviendra inférieur à 500 000. Justifier la réponse et préciser la
méthode utilisée.
-0,26x +3,11< 0,5 ; 0,26x > 3,11 -0,5 =2,61 ; x > 2,61 /
0,26 ; x > 10,04 soit 11 . ( année 2021 ).
Partie C.
Dans cette partie, on admet qu’à partir de 2015 et jusqu’en 2030 le
nombre d’habitants exposés à un DVLA diminue de 10 % par an. On
modélise l’évolution du nombre d’habitants (en million) exposés à un
DVLA par les premiers termes d’une suite (un ). Ainsi u0
= 1,6 .
1. a. Justifier que
la suite (un ) est une suite géométrique dont on précisera
la raison.
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 0,9.
Il s'agit d'une suite géométrique de raison 0 ,9 et de premier terme
1,6.
b. Pour tout entier
n compris entre 0 et 15, exprimer un en fonction de n .
un = 1,6 x 09n.
2. Combien
d’habitants risquent d’être exposés à un DVLA en 2019 ? Donner le
résultat en million arrondi au dixième.
n = 4 ; u4 = 1,6 x0,94 = 1,04976 ~1,0 million.
3. En détaillant la
démarche utilisée, et dans le cadre de la modélisation par la suite (un
), déterminer l’année à partir de laquelle moins de 500 000 habitants
de la région seront exposés à un DVLA.
1,6 x 09n < 0,5 ; 0,9n
< 0,5 / 1,6 ; 0,9n < 0,3125.
n ln(0,9) < ln(0,3125) ; -0,1053 n < -1,163 ; n > 1,163
/ 0,1053 ; n >11,04 ; n > 12 ( année 2027 ).
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Exercice 3. 7 points.
Partie A.
On considère la fonction ƒ définie sur l’intervalle [0;15] par : ƒ(x) =
x3 − 21x2 +120x + 50 .
On note ƒ' la fonction dérivée de ƒ sur cet intervalle.
1. Calculer ƒ(4) et
ƒ(10).
f(10) = 103
-21 x100 +120 x10 +50=150.
f(4) =43 -21 x16 +120 x4 +50=258.
2. a. Calculer
ƒ'(x) .
f '(x) = 3x2-42x +120.
b. Vérifier que
pour tout réel x de l’intervalle [0;15], on a : ƒ'(x) = (3x −12)(x −10)
.
(3x-12)(x-10) = 3x2-30x -12x+120 = 3x2-42x +120.
3. Étudier le signe
de ƒ'(x) sur l’intervalle [0;15] ; pour cela, recopier et compléter le
tableau de signes suivant :
x
|
0
|
|
4
|
|
10
|
15
|
signe
de (3x-12)
|
|
-
|
0
|
+
|
|
+
|
signe
de (x-10)
|
|
-
|
|
-
|
0
|
+ |
signe
de f '(x)
|
|
+
|
0
|
-
|
0
|
+
|
4. En déduire le
tableau de variation de la fonction ƒ sur l’intervalle [0;15]. On
précisera dans ce tableau, sans justification, les valeurs remarquables
de ƒ(x).
Partie B.
Des analyses ont montré que des microalgues étaient naturellement
présentes dans l’eau de mer, avec une concentration normale comprise
entre 0 et 100 milligrammes par litre (mg/L).
Ces microalgues ont tendance à se multiplier lorsque la salinité de
l’eau de mer diminue, et les autorités sanitaires considèrent qu’elles
deviennent dangereuses pour la santé
lorsque leur concentration dépasse 200 mg/L. Il faut alors prendre des
mesures comme l’interdiction de la baignade.
La courbe donnée modélise l’évolution de la concentration en
microalgues de l’eau de baignade d’une plage du littoral pendant les 10
jours qui ont suivi un très fort
orage. Il s’agit de la courbe de la fonction ƒ étudiée dans la partie A
mais dont l’ensemble de définition est, dans cette partie B, restreint
à l’intervalle [0;10].
Pour chaque question suivante, justifier la réponse en précisant la
méthode utilisée (calcul ou lecture graphique) et en expliquant la
démarche ; pour la lecture graphique, laisser
apparents les pointillés utiles.
1. Pendant combien
de jours complets la baignade est-elle interdite ?
5,5 jours soit 6 jours.
2. Quelle est la
concentration maximale en microalgues durant les 10 jours suivant
l’orage ? Au bout de combien de jours a-t-elle été atteinte ?
258 mg / L le 4ème jour après l'orage.
3. Peut-on
considérer que 10 jours après l’orage, la situation est revenue à la
normale ?
Non, la concentration est égale à 150 mg /L, valeur supérieure à 100 mg
/ L.
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