Exploration de
l'astéroïde Ryugu,
bac S Polynésie septembre 2019
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On se propose, dans cet exercice,
d’étudier le mode de propulsion de la sonde Hayabusa 2, la transmission
de données photographiques, le largage du module Mascot (Mobile
asteroid surface scout) et la composition de la matière de l'astéroïde.
1. Propulsion de la sonde
Hayabusa 2.
La sonde Hayabusa 2 dispose de quatre moteurs à propulsion ionique au
xénon qui sont utilisés pour ajuster sa trajectoire. Chaque moteur
éjecte à grande vitesse des ions xénon par sa tuyère, ce qui a pour
effet de pousser la sonde à l'opposé de celle-ci. Ce moteur convient
pour de longs voyages spatiaux, puisqu'il consomme peu.
D'après CNESmag Educ n°63 - octobre 2014
Un schéma simplifié du moteur à propulsion ionique de la sonde Hayabusa 2 est donné ci-dessous:
Des ions xénon Xe+ sont lentement injectés dans une première chambre.
On
considère que leur vitesse initiale est nulle au point A. Ils sont
ensuite fortement accélérés par le champ électrostatique horizontal
supposé uniforme qui règne entre deux grilles planes verticales aux
bornes desquelles on applique une tension électrique U = 1500 V.
Finalement, les ions xénon sont éjectés du moteur par le point B. On
négligera le poids des ions xénon Xe+ par rapport à la force électrique qui s’exerce sur eux.
Données :
· Masse d'un ion xénon Xe+ : m(Xe+) = 2,18 x 10-25 kg
· Masse de la sonde Hayabusa 2 : msonde = 608,6 kg
· Charge élémentaire : e = 1,60 x 10-19 C
1.1. Représenter
sur la copie les grilles 1 et 2 puis, sans souci d'échelle, le champ
électrostatique E en un point quelconque situé entre les grilles
pour qu'un ion Xe+ soit accéléré de la grille 1 à la grille 2. Justifier.
Le travail de la force électrostatique doit être moteur ; cette force
est horizontale, dirigée de A vers B. La charge de l'ion est positive ;
la force et donc le champ électrostatique ont le même sens, de A vers B.
1.2. On étudie le mouvement d’un ion xénon Xe+ dans le référentiel du moteur supposé galiléen.
Cet ion quitte le point A avec une vitesse initiale nulle. Son énergie
cinétique au point B est alors égale au travail de la force électrique
qui s’exerce sur lui entre A et B.
Les deux grilles sont séparées par une distance d.
La valeur E du champ électrique est reliée à la tension électrique U par la relation : E = U / d.
1.2.1. Établir l'expression littérale du travail de la force électrique que subit l'ion xénon entre A et B en fonction de e, E et d.
1.2.2. Montrer que la vitesse de l'ion xénon au point B s'écrit : v = (2eU / m(Xe+))½.
La vitesse initiale de l'ion est nulle. L'énergie cinétique finale de l'ion est égale au travail de la force électrostatique.
½m(Xe+) v2 = eU ; v = (2eU / m(Xe+))½..
1.2.3. Calculer la valeur de la vitesse de l'ion xénon au point B.
v = ( 2 x 1,60 10-19 x1500 / (2,18 10-25))½= 4,69 104 m /s.
1.3. La sonde
dispose de 66,5 kg de xénon dans ses réservoirs. Chaque moteur éjecte
0,34 mg d'ions xénon par seconde et la sonde fait fonctionner en
permanence trois de ses moteurs pendant la phase de propulsion.
On étudie le système {sonde + ions xénon}, considéré comme isolé, dans
le référentiel héliocentrique supposé galiléen. À la date t = 0 s, le
système est immobile.
À la date t = 1 s, la sonde a éjecté une masse d'ions xénon notée mions à la
vitesse Vions. On note Vsonde la vitesse de la sonde. On considère que lamasse de la sonde reste constante durant cette phase.
1.3.1. En comparant la quantité de mouvement du système aux dates t = 0 s
et t = 1 s, établir la relation suivante.
La conservation du vecteur quantité de mouvement du système conduit à :
1.3.2. En déduire
pourquoi, comme indiqué dans le texte introductif, l’éjection à grande
vitesse des ions xénon par la tuyère a pour effet de pousser la sonde à
l'opposé de celle-ci.
Les deux vitesses ont la même direction ; la vitesse de la sonde a le
sens contraire de la vitesse des ions ( principe de l'action et de la
réaction).
1.3.3. Calculer la
durée de fonctionnement maximal des moteurs. Proposer une hypothèse sur
l'écart entre la durée de la mission Hayabusa 2 donnée dans
l'introduction ( ~3,5 ans ) et la valeur obtenue.
masse initiale de xénon : 66,5 kg.
Consommation des trois moteurs en une seconde : 0,34 x3 = 1,02 mg.
Durée de fonctionnement : 66,5 /(1,02 10-6) =6,52 107 s ( ~2,1 ans).
Les moteurs ne sont pas utilisés en permanence, mais pour effectuer des corrections de la trajectoire de la sonde et sa vitesse.
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2. Photographie de l'astéroïde Ryugu et transmission des données.
La sonde Hayabusa 2 communique les données scientifiques avec la Terre
en transmettant des signaux avec un débit de transmission de 32
kilobits par seconde.
La photographie ci-après de l'astéroïde Ryugu a été acquise le 26 juin
2018 par la caméra ONC de la sonde, alors que celle-ci se trouvait à
une distance de 20 km de l'astéroïde. Cette image représente un carré
de 1,1 km de côté et possède une définition de 512 × 512 pixels, chaque
pixel étant codé par 1 octet.
2.1. Est-il possible de distinguer un détail de dimension égale à 3 m sur la photographie ? Justifier.
1,1 103 / 3 ~367 détails de 3 m et 512 pixels.
Chaque détail peut se trouver sur un pixel. Réponse : oui.
2.2. Évaluer le diamètre moyen de l'astéroïde Ryugu à partir de sa photographie.
Vérifier la cohérence du résultat avec les informations données ( environ 900 m) au début de l'exercice.
1,1 km correspond à 9 cm ; le diamètre correspond à 7 cm.
Diamètre : 7 x1,1 / 9 ~0,86 km = 860 m, en accord avec les données.
2.3. Déterminer la durée nécessaire pour transmettre toutes les données de cette photographie.
512 x512 = 2,62 105 pixels = 2,62 105 octets.
2,62 105 x8 ~2,1 106 bits = 2,1 103 kbits.
Débit de transmission de 32 kilobits par seconde.
Durée de la transmission : 2,1 103 / 32 ~66 s.
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3. Largage du module Mascot.
La sonde Hayabusa 2 embarque l'atterrisseur Mascot qui doit permettre
d’aider à la sélection des sites de prélèvement des échantillons.
Mascot sera séparé d'Hayabusa 2 à seulement 60 m d'altitude de Ryugu le
3 octobre 2018. Après une descente balistique et sans dispositif de
stabilisation, on s'attend à ce qu'il touche la surface de l'astéroïde
à la vitesse de 10 cm.s-1 avec à la clé quelques rebonds.
D'après un article de Futura-Sciences, 27 juin 2018.
Le mouvement de l'atterrisseur Mascot est étudié dans le référentiel de
l'astéroïde supposé galiléen et muni d’un repère (Ox, Oy) comme indiqué
sur le schéma ciaprès. L'atterrisseur Mascot, assimilé à un point
matériel G, est largué d'une hauteur h au-dessus de la surface de
l'astéroïde Ryugu avec une vitesse initiale v0 horizontale
alors que la sonde Hayabusa 2 est maintenue en vol stationnaire au
dessus de l'astéroïde grâce à ses propulseurs. L'instant du largage est
choisi comme origine des temps.
On considère que l'atterrisseur Mascot n'est soumis qu'à son poids.
On admet que le mouvement a lieu dans le plan (Oxy).
Données :
· Intensité du champ de pesanteur de l'astéroïde Ryugu : gR = 1,1 × 10-4 m.s-2
· Vitesse initiale de l'atterrisseur Mascot : v0 = 5,5 × 10-2 m.s-1
· Masse de l'atterrisseur Mascot : m = 10 kg.
· On assimilera l'atterrisseur Mascot à un cube de 30 cm de côté.
3.1 Montrer que les
coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur position du point matériel
G modélisant l'atterrisseur Mascot sont respectivement :
vx (t) = v0 ; vy (t) = -gRt
x(t) = v0t ; y(t) = -½gRt 2+h.
Coordonnées du vecteur accélération ( 0 ; -gR).
Le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération et les coordonnées de la vitesse initiale son (v0 ; 0).
Coordonnées du vecteur vitesse : v0 ; -gRt.
Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse et les coordonnées de la position initiale sont : 0 ; h.
x(t) = v0t ; y(t) = -½gRt 2+h.
3.2 Déterminer la valeur de la vitesse de l'atterrisseur Mascot au moment où il touche la surface de l'astéroïde Ryugu.
Est-ce cohérent avec l'article de Futura-Sciences ?
h = 60 -0,15 =59,85
Au sol : 0 =-½gRt 2+h ; t=(2 h / gR)½ =(2 x59,85 / (1,1 10-4))½ =1,043 103 s.
Vitesse au sol : vx= 5,5 10-2 ; vy= -1,1 10-4 x1,043 103~ -0,1147 m/s.
v = ((5,5 10-2)2 +0,11472)½~0,13 m /s = 13 cm /s.
Cette valeur est cohérente avec 10 cm /s.
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