Mathématiques,
bac S Asie 2019.
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Exercice 1 ( 6 points).
La
loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d’évolution de la
température d’un corps est proportionnel à la différence entre la
température de ce corps et celle du milieu environnant.
Une tasse de café est servie à une température initiale de 80° C dans
un milieu dont la température exprimée en degré Celsius, supposée
constante, est notée M.
Le but de cet exercice est d’étudier le refroidissement du café en
appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L’un, dans la partie
A, utilise une suite ; l’autre, dans la partie B, utilise une fonction.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A.
Dans cette partie, pour tout entier naturel n, on note Tn la température du café à l’instant n, avec Tn exprimé en degré Celsius et n en minute. On a ainsi T0 = 80 .
On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques n et n +1 par l’égalité :
Tn+1-Tn =k(Tn-M) où k est une constante réelle.
Dans la suite de la partie A, on choisit M =10 et k = −0,2.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : Tn+1-Tn = -0,2(Tn-10)
1. D’après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite (Tn ) ?
(Tn-10) est positif ; -0,2(Tn-10) est négatif ; Tn+1-Tn est négatif.
La suite est décroissante.
2. Montrer que pour tout entier naturel n : Tn+1 = 0,8 Tn +2.
Tn+1=Tn -0,2(Tn-10) = 0,8 Tn+2.
3. On pose, pour tout entier naturel n : un = Tn-10.
a) Montrer que (un) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme u0 .
un+1 = Tn+1-10=0,8 Tn-10 +2 = 0,8 (Tn -10) =0,8 un.
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 0,8.
C'est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme u0 = T0-10 = 80 -10 = 70.
b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : Tn = 70 x0,8n+10.
un = 70 x0,8n ; Tn = 70 x0,8n+10.
4. On considère l’algorithme suivant :
Tant que T > 40
T = 0,8 T+2
n = n+1
Fin Tant que
a) Au début, on affecte la valeur 80 à la variable T et la valeur 0 à la variable n.
Quelle valeur numérique contient la variable n à la fin de l’exécution de l’algorithme ?
b) Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
40 =70 x0,8n+10 ; 30 / 70 = 0,8n ; ln(3 / 7) = n ln(0,8) ; n = 3,797. ( n = 4).
Au bout de 4 minutes la température du café est inférieure à 40°C.
Partie B.
Dans cette partie, pour tout réel t positif ou nul, on note q (t) la température du café à l’instant t,
avec q (t) exprimé en degré Celsius et t en minute. On a ainsi q (0) = 80 .
Dans ce modèle, plus précis que celui de la partie A, on suppose que q
est une fonction dérivable sur l’intervalle [0,+oo[ et que, pour tout
réel t de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par
l’égalité : q '(t) = −0,2(q (t) −M ).
1. Dans cette question, on choisit M = 0 . On cherche alors une fonction q dérivable sur l’intervalle [0,+oo[ vérifiant q (0) = 80 et, pour tout réel t de cet intervalle : q '(t) = −0, 2q (t) .
a) Si q est une telle fonction, on pose pour tout t de l’intervalle [0,+oo[ , f(t) =q(t) / e-0,2t.
Montrer que la fonction f est dérivable sur [0,+oo[ et que, pour tout réel t de cet intervalle, f '(t) = 0 .
Sur cet intervalle la fonction g(t) = 0,2 t est dérivable ; il en est de même de la fonction e-0,2t.
La fonction f(t) est le quotient de fonctions dérivables ; f(t) est donc dérivable sur cet intervalle.
b) En conservant l’hypothèse du a), Calculer f (0) .
En déduire, pour tout t de l’intervalle [0,+oo[ , une expression de f (t) , puis de q (t) .
f(0) =q(0) / e0= q(0) = 80.
f '(t) = [q'(t) e-0,2t +0,2 q(t) e-0,2t] / e-0,4t =[q'(t) +0,2 q(t) ] / e-0,2t ;
f '(t) = [−0,2q (t)+0,2 q(t) ] / e-0,2t = 0.
f(t) = constante = f(0) = 80.
q(t) = 80 e-0,2t.
c) Vérifier que la fonction q trouvée en b) est solution du problème.
q(0) = 80.
q(t) est dérivable en tant que multiplication d'une fonction dérivable par un nombre réel.
q '(t) =-0,2 x80 e-0,2t = -0,2 q(t).
Cette fonction est donc solution du problème.
2. Dans cette question, on choisit M =10 . On admet qu’il existe une unique fonction g dérivable
sur [0,+oo[ , modélisant la température du café à tout instant positif t, et que, pour tout t de l’intervalle [0,+oo[ :
g(t) = 10 +70e-0,2t.
où t est exprimé en minute et g(t) en degré Celsius.
Une personne aime boire son café à 40° C.
Montrer qu’il existe un unique réel t0 dans [0,+oo[ tel que g(t0) = 40 .
Donner la valeur de t0 arrondie à la seconde.
g '(t) = -0,2 x70 e-0,2t est strictement négative.
g(t) est strictement décroissante.
g(0) = 80 ; g(t) tend vers 10 quand t tend vers plus l'infini.
40 appartient à [10 ; 80 ]
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, g(t) =40 admet une solution unique t0.
40 =10 +70e-0,2t ; 30 / 70 = e-0,2t ; ln(3 / 7) = -0,2 t ; t =4,236 min ou 4 min 15 s.
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Exercice 2 ( 4 points ).
Pour
chacune des questions suivantes, une seule des quatre affirmations est
exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la
lettre correspondant à l’affirmation exacte. Il est attribué un point
si la lettre correspond à l’affirmation exacte, 0 sinon.
Dans tout l’exercice, on se place dans un repère orthonormé (O ; i , j , k ) de l’espace.
Les quatre questions sont indépendantes. Aucune justification n’est demandée.
1. On considère le plan p d’équation cartésienne 3x + 2y + 9z − 5 = 0 et la droite d dont une
représentation paramétrique est :
x = 4t +3 ; y = -t+2 ; z = -t+9 avec t réel.
Affirmation A : l’intersection du plan p et de la droite d est réduite au point de coordonnées (3 ;2 ;9). Faux.
3 x3 +2 x2 +9 x9 -5 = 73 différent de zéro.
Les coordonnées de ce point ne vérifient pas l'équation deu plan P.
Affirmation B : le plan P et la droite d sont orthogonaux. Faux.
Coordonnées du vecteur orthogonal au plan P : (3 ; 2 ; 9).
Coordonnées du vecteur directeur de la droite (d) : (4 ; -1 ; -1).
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Affirmation C : le plan P et la droite d sont parallèles. Faux.
Le produit scalaire de ces deux vecteur est égal à : 4 x3 -2-9 = 1.
Le produit scalaire diffère de zéro, la droite (d= et le plan P ne sont pas parallèles.
Affirmation D : l’intersection du plan p et de la droite d est réduite au point de coordonnées (−353 ;91 ;98) . Vrai.
3(4t+3) +2(-t+2) +9(-t+9) -5 = 0 ; t = -89.
x = -89 x 4 +3 = -353 ; y = 89+2 = 91 ; z = 89+9 =98.
2. On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous et les points I, J et K définis par les égalités vectorielles.
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Affirmation A : la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est un triangle.
Affirmation B : la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est un quadrilatère.
Affirmation C : la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est un pentagone. Vrai.
Affirmation D : la section du cube ABCDEFGH par le plan (IJK) est un hexagone.
3. On considère la droite d dont une représentation paramétrique est
x = t+2 ; y = 2 ; z = 5t-6 avec t réel
et le point A(− 2 ;1 ;0) . Soit M un point variable de la droite d.
Affirmation A : la plus petite longueur AM est égale à 53½ .
AM =[(t+2+2)2 +(2-1)2 +(5t-6-0)2]½ =[t2 +16 +8t + 1 +25t2 +36 -60t]½ =[26 t2 -52t +53]½.
26 t2 -52t +53 atteint son minimum pour t =52 / (2 x26) = 1 ;
AMmin = [26 -52 +53]½ = 27 ½.
Affirmation B : la plus petite longueur AM est égale à 27½. Vrai.
Affirmation C : la plus petite longueur AM est atteinte lorsque le point M a pour coordonnées (− 2 ;1 ;0) .
Affirmation D : la plus petite longueur AM est atteinte lorsque le point M a pour coordonnées (2 ;2 ;−6) .
4. On considère le plan p d’équation cartésienne x + 2y −3z +1 = 0 et le plan p’ d’équation cartésienne 2x − y + 2 = 0 .
Affirmation A : les plans p et p’ sont parallèles. Faux.
Coordonnées d'un vecteur normal au plan P : (1 ; 2 ; -3).
Coordonnées d'un vecteur normal au plan P' : (2 ; -1 ; 2).
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Affirmation B : l’intersection des plans p et p’ est une droite passant par les points A(5 ;12 ;10) et B(3 ;1 ;2) .Faux.
5 +2 x 12 -3 x10+1 = 0 est vérifié ; A appartient au plan P.
2 x5 -12 +2 = 0 est vérifiée, A appartient au plan P'.
3 +2 x 1 -3 x2+1 = 0 est vérifié ; B appartient au plan P.
2 x2 -1 +2 diffère de zéro, B n'appartient pas au plan P'.
Affirmation C
: l’intersection des plans p et p’ est une droite passant par le point
C(2 ;6 ;5) et dont un vecteur directeur a pour coordonnées (1 ;2 ;2). Faux.
Affirmation D
: l’intersection des plans p et p’ est une droite passant par le point
D(−1 ;0 ;0) et dont un vecteur directeur a pour coordonnées (3 ;6 ;5). Vrai.
De plus -1+1 = 0 est vérifié ; D appartient au plan P.-2+2=0, D appartient au plan P'.
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Exercice 3. ( 7
points )
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Dans tout l’exercice, on arrondira les résultats au millième.
Partie A.
En France, la consommation de produits bio croît depuis plusieurs années.
En 2017, le pays comptait 52 % de femmes. Cette même année, 92 % des
Français avaient déjà consommé des produits bio. De plus, parmi les
consommateurs de produits bio, 55 % étaient des femmes.
On choisit au hasard une personne dans le fichier des Français de 2017. On note :
• F l’évènement « la personne choisie est une femme » ;
• H l’évènement « la personne choisie est un homme » ;
• B l’évènement « la personne choisie a déjà consommé des produits bio ».
1. Traduire les données numériques de l’énoncé à l’aide des évènements F et B.
P(F) = 0,52 ; P(B) = 0,92 ; PB(F) = 0,55.
2. a) Montrer que P(F n B) = 0,506 .
PB(F) =P(F n B) / P(B) ; P(F n B) = 0,92 x0,55 =0,506.
b) En déduire la probabilité qu’une personne ait consommé des produits bio en 2017, sachant que c’est une femme.
PF(B) =P(F n B) / P(F) = 0,506 / 0,52 =0,973.
3. Calculer PH(non B) . Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
P(non B) = 1-0,92 = 0,08.
PF(B) =0,973 ; par suite PF(non B) =1-0,973 =0,027.
Donc : P(F n non B) =0,027 x0,52 = 0,014.
Formule des probabilités totales : P(non B) = P(H n non B) + P(F n non B) =0,08.
P(H n non B) =0,08 -0,014 = 0,066.
PH(non B) = P(H n non B) / P(H) =0,066 / (1-0,52) =0,137.
La probabilité qu'un homme n'est pas consommé de produit bio est 0,137.
Partie B.
Dans un supermarché, un chef de rayon souhaite développer l’offre de produits bio.
Afin
de justifier sa démarche, il affirme à son responsable que 75 % des
clients achètent des produits bio au moins une fois par mois.
Le responsable souhaite vérifier ses dires. Pour cela, il organise un sondage à la sortie du magasin.
Sur 2 000 personnes interrogées, 1 421 répondent qu’elles consomment des produits bio au moins une fois par mois.
Au seuil de 95 %, que peut-on penser de l’affirmation du chef de rayon ?
n = 2000 ; p = 0,75. n > 30 ; np =2000 x0,75 = 1500 > 5 ; n(1-p) = 2000 x0,25 = 500 > 5.
Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % :
1,96 (p(1-p) / n)½ =1,96 (0,75 x0,25 / 2000)½ =0,019.
[0,75 -0,019 ; 0,75 +0,019) soit [0,73 ; 0,77 ].
Fréquence observée f = 1421 / 2000 =0,71
Cette valeur n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation. Au risque de 5 %, l'affirmation est fausse.
Partie C.
Pour
promouvoir les produits bio de son enseigne, le responsable d’un
magasin décide d’organiser un jeu qui consiste, pour un client, à
remplir un panier avec une certaine masse d’abricots issus de
l’agriculture biologique. Il est annoncé que le client gagne le contenu
du panier si la masse
d’abricots déposés est comprise entre 3,2 et 3,5 kilogrammes.
La masse de fruits en kg, mis dans le panier par les clients, peut être
modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi de probabilité de
densité f définie sur l’intervalle [3 ; 4] par : f(x) = 2 / (x-2)2.
Rappel : on appelle fonction de densité d’une loi de probabilité sur
l’intervalle [a, b] toute fonction f définie, continue et positive sur
[a, b], telle que l’intégrale de f sur [a, b] est égale à 1.
1.
Vérifier que la fonction f précédemment définie est bien une fonction
de densité d’une loi de probabilité sur l’intervalle [3 ; 4].
La fonction f, quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas, est continue sur cet intervalle.
De plus f(x) est positive.
Primitive de f(x) : F(x) = -2 / (x-2).
F(4) -F(3) =2 [ -1 / 2 -(-1 / 1) ]= 2(-0,5 +1)=1.
2. Le magasin annonce : « Un client sur trois gagne le panier ! ». Cette annonce est-elle exacte ?
P(3,2 < X < 3,5) =F(3,5) -F(3,2) = -2 [1 / 1,2 -1 / 1,5) = 0,333.
L'annonce est exacte.
3. Cette question a pour but de calculer l’espérance mathématique E(X ) de la variable aléatoire X.
On rappelle que, pour une variable aléatoire X de densité f sur l’intervalle [a, b], E(X ) est donnée par :
a) Vérifier que la fonction G, définie sur l’intervalle [3 ; 4] par G(x) = ln(x-2) -x /(x-2)
, est une primitive de la fonction x /(x-2)2 sur cet intervalle.
On calcule G'(x) en posant u = x, v = x-2 ; u' = 1 ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 = (x-2-x) / (x-2)2 = -2 /(x-2)2.
G'(x) = 1 /(x-2) +2 /(x-2)2.
Réduire au même dénominateur ; G'(x) = (x-2+2) / (x-2)2 = x /(x-2)2 .
b) En déduire la valeur exacte de E(X ) , puis sa valeur arrondie au centième.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
G(4) -G(3) = 2[ln(2) -2 -ln(1)+3] =2(ln(2) +1) ~3,39.
La masse moyenne du panier d'abricots est 3,39 kg.
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Exercice 4 – Candidats n’ayant pas suivi la spécialité mathématique (5 points)
1. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation (E) à l’inconnue z :
z3 + (−2 *3½ + 2i )z2 + (4 − 4i 3½) z + 8i = 0 (E).
a) Montrer que le nombre − 2i est une solution de l’équation (E).
8i3 + (−2 *3½ + 2i )4i2 + (4 − 4i 3½) 2i + 8i = 0.
-8 i-4 (−2 *3½ + 2i ) +8i-8i2 3½+8i=0.
8*3½ -8i -8* 3½+8i=0 est vérifié.
b) Vérifier que, pour tout nombre complexe z, on a :
z3 + (−2 *3½ + 2i )z2 + (4 − 4i 3½) z + 8i =(z+2i)(z2 -2*3½z+4).
On développe :
(z+2i)(z2 -2*3½z+4) =
z3 −2 *3½ z2 +4 z +2iz2− 4i 3½ z +8i =
z3 + (−2 *3½ + 2i )z2 + (4 − 4i 3½) z + 8i.
c) Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.
z+2i = 0 conduit à z = -2i.
z2 -2*3½z+4=0 ; discriminant D =(2*3½)2 -4 *4 = -4 = 4 i2.
Solutions : z = (2*3½± 2i) / 2 = 3½± i.
d) Écrire les solutions de l’équation (E) sous forme exponentielle.
z = -2i = 2 exp(-i p/2).
z = 3½+i ; |z| =(3+1)½ = 2 ; z / |z| = 3½/ 2 + 0,5i=cos (p/6) + i sin(p/6) =exp(ip/6) ; z = 2 exp(ip/6).
z = 3½-i ; |z| =(3+1)½ = 2 ; z / |z| = 3½/ 2 - 0,5i=cos (-p/6) + i sin(-p/6) =exp-(ip/6) ; z = 2 exp(-ip/6).
Dans la suite, on se place dans le plan muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.
2. On considère les points A, B, C d’affixes respectives − 2i , 3½ + i et 3½ −i .
a) Montrer que A, B et C appartiennent à un même cercle de centre O dont on déterminera le rayon.
Ces trois nombres complexes possèdent le même module 2.
OA = OB = OC, les points A, B, C appartiennent au même cercle de centre O et de rayon 2.|
b) Placer ces points sur une figure que l’on complètera par la suite.
c) On note D le milieu du segment [OB]. Déterminer l’affixe z L du point L tel que AODL soit un parallélogramme.
3. On rappelle que, dans un repère orthonormé du plan, deux vecteurs de coordonnées respectives (x, y) et (x ', y ') sont orthogonaux si et seulement si x x '+ y y ' = 0 .
a) Soit u et v deux vecteurs du plan, d’affixes respectives z et z ' .
Montrer que ces deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si  est un imaginaire pur.
z = x +iy ; z' = x' +iy' ; = xx' -i2yy' +i(-xy' +x'y).
Donc est un imaginaire pur implique que :xx' +yy' = 0 et que les deux vecteurs soient orthogonaux.
b) À l’aide de la question 3.a), démontrer que le triangle AOL est rectangle en L.
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