Exercice 1.
L’exploitant d’une forêt communale décide d’abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants, soit à des entreprises. On admet que :
• parmi les arbres abattus, 30 % sont des chênes, 50 % sont des sapins et les autres sont des arbres d’essence secondaire (ce qui signifie qu’ils sont de moindre valeur) ;
• 45,9 % des chênes et 80 % des sapins abattus sont vendus aux habitants de la commune;
• les trois quarts des arbres d’essence secondaire abattus sont vendus à des entreprises.
Partie A.
Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard.
On considère les événements suivants :
• C : « l’arbre abattu est un chêne » ;
• S : « l’arbre abattu est un sapin » ;
• E : « l’arbre abattu est un arbre d’essence secondaire » ;
• H : « l’arbre abattu est vendu à un habitant de la commune ».
1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
2. Calculer la probabilité que l’arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune.
3. Justifier que la probabilité que l’arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à 0,587 7.

4. Quelle est la probabilité qu’un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin ?
On donnera le résultat arrondi à 10⁻³.
0,40 / 0,5877 ~ 0,681.

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Exercice 3.
Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt :

Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions f et g définies sur R par :
f (x) = e^−x (−cosx +sinx +1) et g (x)= −e^−x cosx.
On admet que les fonctions f et g sont dérivables sur R.
Partie A. Étude de la fonction f.
1. Justifier que, pour tout x appartenant à R :
−e^−x < f (x) < 3e^−x .
-1 < cos x < 1 et -1 < sin x < 1.
-1-1+1 < -cos x + sin x+1 <1 +1 +1.
En multipliantmembre à membre  par e^-x >0 : −e^−x < f (x) < 3e^−x .
2. En déduire la limite de f en +oo.
Quand x tend vers plus l'infini : −e^−x et 3e^−x tendent vers zéro.
Le théorème des gendarmes conduit à : f(x) tend vers zéro quand x tend vers plus l'infini.
3. Démontrer que, pour tout x réel, f ′(x) = e^−x (2cos x −1) où f ′ est la fonction dérivée de f .
On pose : u = e^-x et v = -cos x + sin x +1 ; u' = -e^-x ; v' = sin x + cos x.
u'v + v'u = -e^-x (sin x + -cos x +1)+ e^-x (sin x + cos x).
f ' (x) = e^−x (2cos x −1)
4. Dans cette question, on étudie la fonction f sur l’intervalle [−p ; p].
a. Déterminer le signe de f ′(x) pour x appartenant à l’intervalle [−p ; p].
e^−x est strictement positif ; 2 cos x -1 s'annule pour x = ± p/3.
2 cos x -1 est négatif sur [−p ; -p/3] et sur [p/3 ; p]
2 cos x -1 est positif sur [−p/3 ; p/3].
b. En déduire les variations de f sur [−p ; p].
  Sur [−p ; -p/3] et sur [p/3 ; p], f(x) est strictement décroissante.
Sur [−p/3 ; p/3] f(x) est strictement croissante.
f(x) présente un minimum en -p/3 et un maximum en p/3.
Partie B. Aire du logo.
On note C_f et C_g les représentations graphiques des fonctions f et g dans un repère orthonormé
 L’unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées.

1. Étudier la position relative dela courbe C_f par rapport à la courbre C_g sur R.
f (x) -g(x) = e^−x (−cosx +sinx +1) +e^−x cosx = e^−x ( sinx +1).
-1 < sin x < 1 ; -1 +1 < sin x + 1 < 1 +1 ;  0 < sin x + 1 < 2 ;
de plus e^-x est strictement positif.
f (x) -g(x) > 0, donc C_f est au dessus de C_g.
2. Soit H la fonction définie sur R par :
H(x) = -0,5 ( cos x+ sin x+2)e^-x.
On admet que H est une primitive de la fonction  (sinx +1)e^−x sur R.
On note D le domaine délimité par la courbe C_f , la courbe C_g est les droites d’équation x = -0,5p et 1,5 p.
a. Hachurer le domaine D sur le graphique.
b. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine D, puis en donner une valeur approchée à 10⁻² près en cm².
Aire du domaine D : A =H(1,5 p) - H(-0,5p) = -0,5 [ cos (1,5 p)+ sin (1,5 p)+2]e^{-(1,5 p)}+0,5[ cos (-0,5 p)+ sin (-0,5 p)+2]e^{0,5 p}.
A = -0,5(0-1+2)e^{-(1,5 p)}+0,5(0-1+2)e^{0,5 p}.
A = -0,5e^{-(1,5 p)}+0,5e^{0,5 p} ~ -0,0045 +2,41 ~2,40 unités d'aire soit 2,40 x4 =9,60 cm².