Mathématiques, suites numériques, concours Geipi Polytech

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Partie A. 2018
a est un nombre réel. On considère la suite (vn) définie par, avec n entier :
v0 = a ; vn = -1 +n vn-1 avec n > 1.
 1. Afin de calculer vn pour une valeur de n et de a données, on écrit l'algorithme suivant. Compléter la ligne 10.
1.  Variables
2       k et n sont entiers
3       a et v sont des réels
4   Entrée
5      Lire la valeur de a
6      Lire la valeur de n
7   Traitement
8   v prend la valeur a
9   Pour k allant de 1 à n faire
10    v prend la valeur -1+k x v
11 Fin du pour
12  Sortir
13 afficher v.
Partie B
Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn définie par :
pour tout réel x , fn(x) = (1-x)n ex.
On considère les suites (un) et (In) avec n entier naturel, définies ci-dessous.
1. Donner la valeur exacte de u0 puis une valeur décimale approchée à 10-2 près.

2. On considère la fonction F définie par F(x) = (2-x)ex, pour tout x réel.
2.a La dérivée F'(x) s'écrit sous la forme F'(x) = h(x) ex. Donner l'expression de h(x).
On pose u = 2-x et v = ex ; u' = -1 ; v' = ex.
F'(x) = u'v +v'u = -ex+(2-x)ex = (1-x)ex. h(x) = 1-x.
2.b. En déduire la valeur exacte de u1 en détaillant les calculs.

 3. Exprimer In en fonction de n en détaillant les calculs.

4.a. Donner un encadrement de ex lorsque 0 < x < 1 en justifiant.
e0 = 1 ; l'exponentielle est une fonction croissante :  1 < ex < e.
4.b. Montrer que pour tout n > 0, aIn < un < ßIn, où a et ß sont des réels strictement positifs à préciser.
1 < ex < e ; or, pour x appartenant à [0 ; 1 }, (1-x)n est positif.
1/ (n+1) < ex / (n+1) < e / (n+1).
 (1-x)n  < (1-x)n ex  <  (1-x)n e .
Par intégration entre 0 et 1 : In < un < e In. a = 1 et ß=e.
5. Justifier que un tend vers zéro si n tend vers plus l'infini.
In = 1 / (1+n) et e In tendent vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
D'après le théorème des gendarmes, un tend vers zéro quand n tend vers plus l'infini.
Partie C.
Dans cette question n est un entier naturel non nul et x est un réel.
1.a. f 'n est la dérivée de fn. Détailler le calcul de f 'n.
On pose u = (1-x)n et v=ex : u' = -n(1-x)n-1 et v' = ex.
u'v+v'u = -n(1-x)n-1 ex+(1-x)n ex= (1-x)n-1 ex(1-n-x).
1.b. Donner l'expression de fn(x)-f 'n(x) en fonction de fn-1(x).
 fn-1(x) = (1-x)n-1 ex.
f 'n (x) =(1-n-x) fn-1(x) ;
fn(x)-f 'n(x) = (1-x) (1-x)n-1 ex-(1-n-x) fn-1(x) = n fn-1(x).
2. En déduire que pour tout n > 1, un = -1+n un-1.

3. On admet le résultat suivant : pour tout n > 0, vn-un > n(v0-u0). Peut-on utiliser l'algorithme de la partie A avec a = 1,72 pour calculer une valeur approchée de un ? Justifier.
Non.
vn >n(v0-u0) +un.
Quand n tend vers plus l'infini un tend vers zéro.
 v0-u0 >0 ; quand n tend vers plus l'infini vn tend vers plus l'infini.

Exercice 3.  2017.
Dans cet exercice, n désigne un entier naturel non nul.
Partie A.
III-A-1- On considère la suite géométrique (vn)n≥1 de raison q = 3 /4 et de premier terme v1 = 1.
III-A-1-a- Donner les valeurs exactes de v2 et v3.
v2 = v1 q = 3 /4 ; v3 = v2 q = 9 / 16.
III-A-1-b- Donner, pour tout n  1, l’expression de vn en fonction de n.
vn = (3 / 4)n-1.
III-A-2- On pose, pour tout n > 1, An =S vk = v1 +v2 +v3 +....+vn.
III-A-2-a- Donner les valeurs exactes de A1, A2 et A3.
A1 = v1 = 1 ; A2 = v1 +v2 = 1 +3/4 = 7 /4 ; A3 = v1 +v2 +v3= 1 +3/4 +9/16 =37 /16.
III-A-2-b- Montrer que, pour tout n> 1, An = 4[1−(3/4)n].
An = 1+ 3/4 +(3/4)2 +....+(3 /4)n-1 = [1-(3/4)n] / (1-3/4) =[1-(3/4)n] / (1/4) = 4[1 −(3/4)n].
III-A-2-c- La suite (An)n≥1 est convergente. Déterminer sa limite quand n tend vers l'infini.
|3 /4| est inférieur à 1, donc (3 /4)n tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Par suite (An)n≥1 tend vers 4 quand n tend vers l'infini.
III-A-2-d- Déterminer le plus petit entier n tel que An > 3. On le notera n0.
Justifier soigneusement la réponse.
4[1 −(3/4)n] > 3 ; 1 −(3/4)n  > 3/4 ;  1/4 >  (3/4)n ; ln(1/4) > n (ln(3/4) ; ln(4) < n  ln(4/3) ;
n > ln(4) / ln(4/3) ; n > 4,82.

Partie B.
On effectue le coloriage d’un carré de côté 2 unités de longueur avec les consignes suivantes :
Etape 1 : partager le carré initial en quatre carrés identiques de côté de longueur c1 et colorier le carré situé en bas à gauche.
Etape 2 : pour chacun des carrés non encore coloriés, faire un partage en quatre carrés identiques de côté de longueur c2 et colorier le carré situé en bas à gauche.
On poursuit le coloriage du carré selon le même procédé à chaque étape.

Autrement dit, pour tout n > 1 :
Etape n : pour chacun des kn carrés non encore coloriés, faire un partage en quatre carrés identiques de côté de longueur cn et colorier le carré situé en bas à gauche. On colorie kn carrés à l’étape n. On remarque que k1 = 1, k2 = 3.
III-B-1- Faire le coloriage de l’étape 3.
III-B-2-a- Donner la valeur de k3. k3 =9 = 32.
III-B-2-b- Donner, pour tout n > 1, l’expression de kn+1 en fonction de kn.
kn+1 = 3 kn.
III-B-2-c- En déduire, pour tout n > 1, l’expression de kn en fonction de n.
kn = 3n-1.
III-B-3-a- Donner les valeurs de c1, c2 et c3.
c1 = 1 ; c2 = 1/2 ; c3 = 1 /4.
III-B-3-b- Justifier que, pour tout n > 1, cn = 1 / 2n−1.
Cn est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison q = 1 /2.
III-B-4- Justifier que l’aire, en unités d’aire (u.a.), de la surface qui est coloriée lors de l’étape n est égale au terme vn de la suite définie dans la question III-A-1-.
Etape 1 : aire coloriée A1 =v1 =1 ; étape 2 : aire coloriée A2 = 1+3 x1/22  =v1 +v2 ; étape 3 : aire coloriée A3 = 1+3 x1/22  +9 x1/23 =v1 +v2 +v3.;
Etape n : An = 4[1 −(3/4)n].
III-B-5-a- Que vaut l’aire, en u.a., de la surface totale coloriée à l’issue de l’étape n ?
An = 4[1 −(3/4)n].
III-B-5-b- Déterminer le nombre d’étapes minimal nécessaire pour colorier au moins les trois quarts du carré initial. Justifier la réponse.
Aire du carré initial : 4 u.a. Aire des 3 /4 du carré initial = 3 u.a.
41 −(3/4)n] > 3 ; 1 −(3/4)n  > 3/4 ;  1/4 >  (3/4)n ; ln(1/4) > n (ln(3/4) ; ln(4) < n  ln(4/3) ;
n > ln(4) / ln(4/3) ; n >5.





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