2017.
Exercice 16. Etude d'une spirale.
D₁ et D₂ sont deux droites d'équation respective y=-x et=x et M₀(2 ; 0).
On construit M₁ le projeté orthogonal de M₀ sur la droite D₂, M₂ le projeté orthogonal de M₁ sur l'axe des ordonnées, M₃ le projeté orthogonal de M₂ sur la droite D₁ et M₄ le projeté orthogonal de M₃ sur l'axe des  abscisses.
On réitère le même procédé afin de définir, pour tout entier naturel n, la suite de points(M_n).

On note a l'abscisse du point M₁ et b l'abscisse du point M₄ avec a  et b deux nombres réels.
a. a=1 et M₁M₂=1. Vrai.
b. M₂M₃ = 3^½ / 2. Faux.
M₂M₃ =(0,5² +0,5²)^½ =1 / 2^½ = M₁M₂ / 2^½.
Pour tout entier naturel n, on définit les suites (L_n) et (S_n) à l'aide des relations l_n = M_nM_n+1 et S_n = Sl_k.
c. l_n+1=l_n / 2^½. Vrai.
Le côté du carré est égal à la diagonale divisée par 2^½.
d. Quand n tend vers l'infini, S_n tend vers 2 x 2^½+1. Faux.
S_n = M₀M₁ +M₁M₂ +...+M_nM_n+1= 2^½ (1+1 /2^½ +.....+1/(2^½)ⁿ)= 2^½ (1-(1/2^½)ⁿ⁺¹) /(1-1/2^½).
Quand n tend vers l'infini : (1/2^½)ⁿ⁺¹ tend vers zéro et S_n tend vers 2^½  /(1-1/2^½)=2 /(2^½-1) =2(2^½+1).
.

2014.
Exercice 4. Suite définie par un algorithme.
variables
 u est du type nombre
n est du type nombre
k est du type nombre
 Lire n
u prend la valeur 2
 k prend la valeur 0
Tant que k < n faire
 k prend la valeur k +1
 u prend la valeur u +2*(k −1)+1
 fin tant que
Afficher u.
a. u₃=11. Vrai.

k	0	1	2	3
u	2	2+2(1-1)+1=3	3+2(2-1)+1=6	6+2(3-1)+1=11

b. Pour tout entier naturel n, u_n+1 = u_n +2n +1. Faux.
u₁=2+2n-1 =3 ; u₂=u₁+2n-1=6 ; u₃=u₂+2n-1=6+6-1=11. u₄ = u₃ +2n-1 =11+8-1=18.
c. La suite (u_n) est strictement croissante.Vrai.
d. Pour tout entier naturel n, u_n = n² +2. Vrai.

2012.

Exercice 8.
On étudie l'évolution de deux fourmilières A et B.
Chaque mois, 20% des fourmis de A passent en B et 30% des fourmis de B passent en A.
Au bout d'un nombre de mois égal à n, on note u_n et v_n le nombre total (en milliers de fourmis) de fourmis présentes respectivement dans les fourmilières A et B.
On a dénombré que, initialement, on avait u₀ = 320 et v₀ = 180.
a. Pour tout n entier naturel, on a : u_n+1 = 0,8 u_n+0,3 v_n ; v_n+1 = 0,2 u_n+0,7 v_n . Vrai.
b. La suite s = u + v est une suite constante. Vrai.
u_n+1 +v_n+1 =u_n+v_n = constante =u₀+v₀=500.
c. La suite t = –2u + 3v est géométrique de raison 0,5 et vérifie, pour tout n de N : t_n = -100 /2ⁿ. Vrai.
t_n+1= -2u_n+1 +3v_n+1 = -1,6 u_n-0,6 v_n + 0,6 u_n+2,1 v_n = -u_n+1,5 v_n=0,5(-2u_n+3v_n)=0,5 t_n.
t₀= -2u₀+3v₀=-2 x320+3 x180 = -100 ; t_n = -100 /2ⁿ.
d.  Quel que soit n de N, on a: v_n = 200 – 20 / 2ⁿ. Vrai.
t_n = -2u_n +3v_n = -100 /2ⁿ.
u_n +v_n =500 ; 5v_n-1000 =-100 /2ⁿ ; 5v_n =1000 -100 /2ⁿ ; puis diviser par 5.

Exercice 9.
Soit u une suite numérique dont aucun terme n'est nul.
On définit la suite v par: v_n =1+1/u_n.
a) Si u est convergente, alors v est convergente. Faux.
Si u converge vers zéro, v diverge vers l'infini.
b) Si u est minorée par 1, alors v est majorée par 2. Vrai.
c) Si u est majorée par 0,5, alors v est minorée par 3. Faux.
Par  exemple si u =-1, alors v = 0.
d) On suppose ici que u est définie par: u₀ > 0 et u_n+1 =u_n /(u_n+2)
Alors v est une suite géométrique. Vrai.
v_n+1 =1+1/u_n+1 = 1 +(u_n+2) / u_n = 2(u_n+1)/u_n= 2(1+1/u_n)=2 v_n.